La définition générale des crochets de Poisson est la suivante :

        ` {A,C} = sum_i (frac{del A}{del q_i} frac{del C}{del p_i} - frac{del A}{del p_i} frac{del C}{del q_i} ) ` 



Faisons maintenant la démonstration (les devoirs à la maison de Leonard) des différents axiomes que nous utiliserons.

1)  ` { C,A } `  :


`color(blue) ( { C,A } ) = sum_i (frac{del C}{del q_i} frac{del A}{del p_i} - frac{del C}{del p_i} frac{del A}{del q_i} )`
              ` = - sum_i (frac{del A}{del q_i} frac{del C}{del p_i} - frac{del A}{del p_i} frac{del C}{del q_i} )`
              `color(blue) ( = - { A,C } )` 



2)  ` { A,A } `  :


`color(blue) ( { A,A } ) = sum_i (frac{del A}{del q_i} frac{del A}{del p_i} - frac{del A}{del p_i} frac{del A}{del q_i} )`
              ` = sum_i (frac{del^2 A}{del q_i del p_i} - frac{del^2 A}{del p_i del q_i} )`
              `color(blue) ( = 0 )`                 puisque l'ordre des dérivées secondes  ` frac{del^2 A}{del p_i del q_i} `  ne change pas le résultat.



3)  ` { (A+B),C } `  :


` { (A+B),C } = sum_i (frac{del (A+B)}{del q_i} frac{del C}{del p_i} - frac{del (A+B)}{del p_i} frac{del C}{del q_i} )`

Comme  ` frac{del (A+B)}{del q_i} = frac{del A}{del q_i} + frac{del B}{del q_i} ` 

`color(blue) ( { (A+B),C } ) = sum_i (frac{del A}{del q_i} frac{del C}{del p_i} - frac{del A}{del p_i} frac{del C}{del q_i} ) + sum_i (frac{del B}{del q_i} frac{del C}{del p_i} - frac{del B}{del p_i} frac{del C}{del q_i} ) `

                           `color(blue) ( = {A,C} + {B,C} )` 



4)  ` { A,(B+C) } `  :


` { A,(B+C) } = sum_i (frac{del A}{del q_i} frac{del (B+C)}{del p_i} - frac{del A}{del p_i} frac{del (B+C)}{del q_i} )`

Comme  ` frac{del (B+C)}{del q_i} = frac{del B}{del q_i} + frac{del C}{del q_i} ` 

`color(blue) ( { A,(B+C) } ) = sum_i (frac{del A}{del q_i} frac{del B}{del p_i} - frac{del A}{del p_i} frac{del B}{del q_i} ) + sum_i (frac{del A}{del q_i} frac{del C}{del p_i} - frac{del A}{del p_i} frac{del C}{del q_i} ) `

                          `color(blue) ( = {A,B} + {A,C} )` 



5)  ` { (AB),C } `  :


` { (AB),C } = sum_i (frac{del (AB)}{del q_i} frac{del C}{del p_i} - frac{del (AB)}{del p_i} frac{del C}{del q_i} )`

Comme  ` frac{del (AB)}{del q_i} = A frac{del B}{del q_i} + B frac{del A}{del q_i} ` 

`color(blue) ( { (AB),C } ) = sum_i (A frac{del B}{del q_i} frac{del C}{del p_i} - A frac{del B}{del p_i} frac{del C}{del q_i} ) + sum_i (B frac{del A}{del q_i} frac{del C}{del p_i} - B frac{del A}{del p_i} frac{del C}{del q_i} ) `        en ayant regroupé les termes avec ` A ` ou  ` B ` en facteur

                       `color(blue) ( = A {B,C} + B {A,C} )` 



6)  ` { A,(BC) } `  :


` { A,(BC) } = sum_i (frac{del A}{del q_i} frac{del (BC)}{del p_i} - frac{del A}{del p_i} frac{del (BC)}{del q_i} )`

Comme  ` frac{del (BC)}{del q_i} = B frac{del C}{del q_i} + C frac{del B}{del q_i} ` 

`color(blue) ( { A,(BC) } ) = sum_i (frac{del A}{del q_i} B frac{del C}{del p_i} - frac{del A}{del p_i} B frac{del C}{del q_i} ) + sum_i (frac{del A}{del q_i} C frac{del B}{del p_i} - frac{del A}{del p_i} C frac{del B}{del q_i} ) `        en ayant regroupé les termes avec ` B ` ou  ` C ` en facteur

                      `color(blue) ( = B {A,C} + C {A,B} )` 



7)  ` { q_j, q_k } `  :


` { q_j, q_k } = sum_i (frac{del q_j}{del q_i} frac{del q_k}{del p_i} - frac{del q_j}{del p_i} frac{del q_k}{del q_i} )`

avec ` frac{del q_k}{del p_i} = 0 `     et     ` frac{del q_j}{del p_i} = 0 `  toujours.

donc :

`color(blue) ( { q_j, q_k } = 0 )` 



8)  `color(blue) ( { p_j, p_k } = 0 )`  de la même manière.

9)  ` { q_i, p_j } `  :


` { q_i, p_j} = sum_i (frac{del q_i}{del q_i} frac{del p_j}{del p_i} - frac{del q_i}{del p_i} frac{del p_j}{del q_i} )`

avec ` frac{del q_i}{del q_i} = 1 ` ,     ` frac{del p_j}{del p_i} = 0`   si   ` i != j`    et   ` = 1 `    si   ` i = j `  ,     ` frac{del q_i}{del p_i} = 0 `

donc :

`color(blue) ( { q_i, p_j } = 0 \ \ "si" \ \  i != j )` 
`color(blue) ( { q_i, p_j } = 1 \ \ "si" \ \  i = j )` 

`color(blue) ( { q_i, p_j } = delta_(ij) `