Le changement de variable est équivalent à   ` x = q\ (km)^(-frac{1}{4}) ` 
ainsi que :
        ` dot x = frac{dx}{dt} = frac{dq}{dt}(km)^(-frac{1}{4}) ` 

En reportant dans le Lagrangien :

        ` L = frac{m dot x^2}{2} - frac{k}{2} x^2 ` 

on obtient :

        ` L = frac{m}{2} (dot q\ (km)^(-frac{1}{4}))^2 - frac{k}{2} (q\ (km)^(-frac{1}{4}))^2 ` 

        ` color(brown) (L = frac{m}{2}  (km)^(-frac{1}{2})\ dot q^2 - frac{k}{2} (km)^(-frac{1}{2})\ q^2  )` 

qui a bien la forme du Lagrangien proposé :

        ` color(brown) (L = frac{1}{2 omega}dot q^2 - frac{omega}{2} q^2 )` 

On peut donc effectuer les identifications terme à terme,

ce qui donne pour le premier :

        ` frac{1}{omega}  = m\ (km)^(-frac{1}{2}) = frac{m}{sqrt(km)} ` 
             `= sqrt (frac{m}{k}) ` 

et pour le second :

        ` omega  = k\ (km)^(-frac{1}{2}) = frac{k}{sqrt(km)} ` 
           `= sqrt(frac{k}{m}) ` 

Les identifications de chacun des deux termes sont équivalentes, et la relation demandée entre les termes ` k, \ m, \ "et"\ omega` est la suivante :

        ` color(blue) (omega = sqrt(frac{k}{m} )`