Cette partie est la suite du Complément 6.4 .

Cette démonstration est issue de l'ouvrage Advanced Mathematics de Murray S. Spiegel, chapitre 16 Calculus of Variations, 
aux Éditions Schaum's.

1- PRÉSENTATION

Ici ce sont les fonctions    ` eta(x_1)=0 `   et    ` eta(x_2)=0 `    qui nous intéressent car elles sont la clé des
différents chemins que l'on veut optimiser.

2- DÉMONSTRATION

Les parties    ` color(blue)(bb( (1) ) )`   et    ` color(blue)(bb( (2) ) )`    pouvant être délicates, nous allons les examiner ci-dessous.


` color(blue)( bb( (1) ) )`   La règle de Leibniz est la suivante et permet la différenciation sous une intégrale :

Soit    ` I(epsilon) = int _b^(a) f(x, epsilon) dx ` 
alors :
        ` frac{dI}{d epsilon} = int _b^(a) frac{del f}{del epsilon} dx `                                                                  dans le cas simple
et :
        ` frac{dI}{d epsilon} = int _b^(a) frac{del f}{del epsilon} dx + f(b, epsilon)frac{d b}{d epsilon}  -  f(a, epsilon)frac{d a}{d epsilon}`                              dans le cas complet

le cas complet étant celui où les bornes ` (a, b) `    ne sont pas des constantes mais des fonctions de   ` alpha ` .

--> Nous sommes ici dans le cas simple.



Mais avec une fonction ` g(epsilon) `   de   ` epsilon ` , puisque nous avons besoin de   ` g(epsilon) = y(x) + epsilon eta(x) ` .

Donc ce serait :   
        ` I(epsilon) = int _b^(a) f(x, g(epsilon) ) dx ` 
et :
        ` frac{dI}{d epsilon} = int _b^(a) frac{del f}{del g} frac{del g}{del epsilon} dx `                                               la différenciation portant sur une fonction composée vue page 40 du livre         



Et même deux fonctions de   ` epsilon ` , puisque nous avons besoin de   ` g(epsilon) = y(x) + epsilon eta(x) `   et     ` h(epsilon) = y^'(x) + epsilon eta^'(x) `.

Donc on aboutit à : 
        ` I(epsilon) = int _b^(a) f(x, g(epsilon), h(epsilon) ) dx ` 
et :
        ` frac{dI}{d epsilon} = int _b^(a) (frac{del f}{del g} frac{del g}{del epsilon} + frac{del f}{del h} frac{del h}{del epsilon} )dx `                                   la différenciation portant maintenant sur deux variables étant des fonctions composées         



ce qui nous permet d'obtenir l'équation :

        ` frac{dI}{d epsilon} = int _b^(a) (frac{del F_epsilon}{del g} eta(x) + frac{del F_epsilon}{del h} eta^'(x) )dx `                                      plutôt que l'équation  ` (2a) `  de la démonstration d'ailleurs car   ` epsilon = 0 `  n'est pas encore posé

puisque :  

        ` frac{del g}{del epsilon} = frac{del (y(x) + epsilon eta(x) )}{del epsilon} = eta(x) `         et        ` frac{del h}{del epsilon} = frac{del (y^'(x) + epsilon eta^'(x) )}{del epsilon} = eta^'(x) `

Ensuite on peut donc écrire :


        ` frac{dI}{d epsilon} = int _b^(a) (frac{del F}{del y} eta(x) + frac{del F}{del y^'} eta^'(x) )dx `  

car     ` epsilon = 0 \ \ \ => \ \ \ g(epsilon) = g(epsilon, x) = y(x) `  et   ` h(epsilon) = h(epsilon, x) = y^'(x) ` 

` color(blue)( bb( (2) )`   Nous allons maintenant regarder l'intégration par partie du second membre de l'équation :

        ` frac{dI}{d epsilon} = int _b^(a) (frac{del F}{del y} eta(x) + frac{del F}{del y^'} eta^'(x) )dx `  
soit :
        ` I_1 = int _b^(a) frac{del F}{del y^'} eta^'(x) dx `  


        ` int _b^(a) u dv = uv ]_a^b - int _b^(a) v du ` 


Avec dans notre cas :

        ` u = frac{del F}{del y^'}\ \ \ \ =>\ \ \ du = frac{d}{dx} frac{del F}{del y^'} dx `  

        ` dv = eta^'(x)dx\ \ \ \ =>\ \ \ v = eta(x) ` 

On obtient donc :

        ` I_1 = frac{del F}{del y^'} eta(x)]_a^b - int _b^(a) frac{d}{dx} frac{del F}{del y^'} eta(x) dx `  

            ` = - int _b^(a) frac{d}{dx} frac{del F}{del y^'} eta(x) dx `                  puisque    ` eta(a) = eta(b) = 0 `   dans le premier terme



L'équation complète devient maintenant :

        ` frac{dI}{d epsilon}]_(epsilon=0) = int _b^(a) (frac{del F}{del y} eta(x) - frac{d}{dx} frac{del F}{del y^'} eta(x) )dx `  

                        ` = int _b^(a) (frac{del F}{del y} - frac{d}{dx} frac{del F}{del y^'}) eta(x) dx `  

et la condition :

        ` frac{dI}{d epsilon}]_(epsilon=0) = 0 ` 

conduit à :

        ` color(blue)( frac{del F}{del y} - frac{d}{dx} frac{del F}{del y^'} = 0 )`                         ce que l'on cherchait.