Prenons les équations (19) dans l'ordre :

1)  ` { x, L_z } `  :

        ` { x, L_z } = {x, (x p_y - y p_x) } ` 


` {A, (B+C) } = {A,B} + {A,C} ` 

ce qui donne :



        ` { x, L_z } = {x, (x p_y)} - { x, (y p_x) } `     ,

ensuite :


` {A, (BC) } = B{A,C} + C{A,B} ` 

ce qui donne :



` { x, L_z } = (x{x, p_y} + p_y {x,x} ) - ( y{x, p_x} + p_x {x,y} ) `     ,

et maintenant :


` {q_j, q_k } = {p_j, p_k } = 0 `
` {q_i, p_j } = delta_(ij) ` 

ce qui donne :



` {x, p_y} = 0 `     ,    ` {x,x} = 0 `     ,    ` {x, p_x} = 1 `     et     ` {x,y} = 0 ` 

et donc :

        ` color(blue) ( { x, L_z } = - y )` 

2)  ` { y, L_z } `  :

        ` { y, L_z } = {y, (x p_y - y p_x) } ` 


` {A, (B+C) } = {A,B} + {A,C} ` 

ce qui donne :



        ` { y, L_z } = {y, (x p_y)} - { y, (y p_x) } `     ,

ensuite :


` {A, (BC) } = B{A,C} + C{A,B} ` 

ce qui donne :



` { y, L_z } = (x{y, p_y} + p_y {y,x} ) - ( y{y, p_x} + p_x {y,y} ) `     ,

et maintenant :


` {q_j, q_k } = {p_j, p_k } = 0 `
` {q_i, p_j } = delta_(ij) ` 

ce qui donne :



` {y, p_y} = 1 `     ,    ` {y,x} = 0 `     ,    ` {y, p_x} = 0 `     et     ` {y,y} = 0 ` 

et donc :

        ` color(blue) ( { y, L_z } = x )` 

3)  ` { z, L_z } `  :

        ` { z, L_z } = {z, (x p_y - y p_x) } ` 


` {A, (B+C) } = {A,B} + {A,C} ` 

ce qui donne :



        ` { z, L_z } = {z, (x p_y)} - { z, (y p_x) } `     ,

ensuite :


` {A, (BC) } = B{A,C} + C{A,B} ` 

ce qui donne :



` { z, L_z } = (x{z, p_y} + p_y {z,x} ) - ( y{z, p_x} + p_x {z,y} ) `     ,

et maintenant :


` {q_j, q_k } = {p_j, p_k } = 0 `
` {q_i, p_j } = delta_(ij) ` 

ce qui donne :



` {z, p_y} = 0 `     ,    ` {z,x} = 0 `     ,    ` {z, p_x} = 0 `     et     ` {z,y} = 0 ` 

et donc :

        ` color(blue) ( { z, L_z } = 0 )` 



Tous les axiomes sont démontrés dans le Complément 10.1 .