Voilà notre pendule, dans une représentation en coordonnées polaires (Axe ` Ox `  et angle  ` theta ` )  avec :

        ` F = mg sin theta `        

1) Quels sont les résultats obtenus précédemment dans le chapitre que nous pouvons utiliser pour trouver le résultat demandé ?

- Il y a le Lagrangien en coordonnées polaires ` L = frac(1)(2)m (dot r^2 + r^2 dot theta^2 ) `         mais qui correspond au repère tournant de George.

- avec aussi, dans ce même paragraphe sur les coordonnées généralisées et les moments, l'obtention du moment conjugué pour la variable ` theta `  :

        ` p_theta = frac(del L)(del dot theta) = m r^2 dot theta ` 

et, en continuant, les équations d'Euler-Lagrange à partir du Lagrangien :

        ` frac(dp_theta)(dt) = frac(del L)(d theta) = 0 ` 

        ` frac(d)(dt) m r^2 dot theta = 0 `    d'où   ` m r^2 dot theta = "Cte"  ` 

ce qui correspond à la conservation du moment cinétique.
Mais nous ne sommes pas dans ce cas là !


Un petit tour, pour ceux qui le peuvent, dans les chapitres 18 et 19 du cours de physique Mécanique 1 de Richard Feynman fait
bien comprendre le mécanisme.
Dans l'exemple de la patineuse, cité dans la note de bas de page n°21 page 138, il n'y a pas de force supplémentaire ou 
plus exactement de couple supplémentaire , puisque nous sommes dans le cas d'un solide en rotation, 
qui la fait aller plus vite lorsqu'elle ramène les bras le long du corps !
Il n'y a donc pas de potentiel V associé.

Mais dans notre cas du pendule, il y a un couple en plus, dû au poids de la masse au bout du pendule, 
c'est à dire le couple   ` r\ mg\ sin theta ` .

Et l'on doit alors tenir compte d'un potentiel V(r) .



2) Examinons quel pourrait être ce potentiel.
Nous sommes dans le cas de la figure suivante :

Et l'énergie cinétique est aussi, comme habituellement, pour un référentiel qui n'est pas en rotation :

        ` T = frac(1)(2) m v^2 ` 

           ` = frac(1)(2) m (dot theta\ r)^2 `             sachant que   ` v = omega r = dot theta r ` 

Le Lagrangien devient :
        ` L = frac(1)(2)m  r^2 dot theta^2  - mg\ (r - r cos theta) ` ,             puisque   ` L = T - V ` 

et les équations d'Euler-Lagrange deviennent pour ` r `  :

        ` frac(del L)(del dot r) = 0 `         ` =>   frac(d)(dt) frac(del L)(del dot r) = 0 `

        ` frac(del L)(del r) = m r dot theta^2 - mg(1 - cos theta) `
d'où :
        ` 0 = m r dot theta^2 - mg(1 - cos theta) ` 
        ` m r dot theta^2 = m g (1 - cos theta) `                   ou
        ` m r^2 dot theta = m g frac(r)(theta) (1 - cos theta) `               en multipliant par  ` r `  et divisant par  ` dot(theta) `  pour retrouver  ` m r^2 dot theta `  

        qui montre bien que le moment cinétique  ` m r^2 dot theta `   n'est pas constant comme on s'y attendait.



et pour ` theta ` :

        ` frac(del L)(del dot theta) = m r^2 dot theta `         ` =>   frac(d)(dt) frac(del L)(del dot theta) = m r^2 ddot theta `

        ` frac(del L)(del theta) = - mg r sin theta `
d'où :
        ` m r^2 ddot theta = - mg r sin theta `
            ` r ddot theta \ \  = - g sin theta `                    en simplifiant par  ` mr ` 


et comme  ` r = l = "Cte" ` :

        ` color(blue) (ddot theta = - frac(g)(l) sin theta ) `         qui est bien l'équation classique du mouvement d'un pendule simple.



Je suis peut-être allé un peu trop loin car l'exercice 7.5 du chapitre suivant demande justement de trouver cette équation 
du mouvement.

L'énoncé de cet exercice demandant seulement de "prédire" l'équation du mouvement, il aurait peut-être été suffisant de dire  
que, à la suite des explications, le Lagrangien doit avoir la forme :
        ` L = frac(1)(2)m r^2 dot theta^2 - V(r) ` ,             avec   ` L = T - V ` 

Cela n'est pas gênant, nous verrons ce que le chapitre 7 nous a fait découvrir avant de s'attaquer à l'exercice 7.5 .