Démonstration de : `e = lim_(x ->0) (1 + x)^frac(1)(x) `

Présentation :

Ce résultat est utilisé dans l'exercice 2.5 pour démontrer que `frac(d(ln t))(dt) = frac(1)(t) `.

1) Commençons d'abord par un rappel sur le Binôme de Newton :

  La déclinaison du binôme (deux éléments) s'exprime dans les relations suivantes :

` (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2`

` (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3`

` (a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4`

` (a+b)^5 = a^5 + . . . . . . . + b^5`

ce qui permet de construire les coefficients des différents binômes avec le Triangle de Pascal :

        1 
        1  1
        1  2  1
        1  3  3  1
        1  4  6  4  1
        1  5 10 10  5  1

        . . . . . . . .

les coefficients étant aussi donnés par la formule générale, dite formule du binôme de Newton :

`(a+b)^n = a^n + C_n^1\ a^(n-1)b + C_n^2\ a^(n-2)b^2 + C_n^3\ a^(n-3)b^3 + . . . . . . + C_n^(n-1)\ ab + b^n `

avec :

`C_n^p = frac(n!)(p!(n-p)!) `       `(1)`

ou :

`C_n^p = frac(1)(p!) n(n-1)(n-2) . . . (n-p+1) `       `(2)`

ce qui donne par exemple pour `n=4 `:

`(a+b)^4 = a^4 + C_4^1\ a^3 b + C_4^2\ a^2 b^2 + C_4^3\ a b^3 + C_4^1\ b^4 `

et on retrouve bien :

- pour `n=4, \ \ p=1`

`C_4^1 = frac(4!)(1!(4 - 1)!) = frac(4 xx 3 xx 2 xx 1)(1 xx 3 xx 2 xx 1) = 4 `    suivant la formule `(1)`

ou :

pour `n=4, \ \ n - p + 1 = 4 - 1 + 1 = 4`    suivant la formule `(2)`

`C_4^1 = frac(1)(1!) xx 4 = 4 `

- pour `n=4, \ \ p=2`

`C_4^2 = frac(4!)(2!(4 - 2)!) = frac(4 xx 3 xx 2 xx 1)(2 xx 2) = 6 `    suivant la formule `(1)`

ou :

pour `n=4, \ \ n - p + 1 = 4 - 2 + 1 = 3`    suivant la formule `(2)`

`C_4^2 = frac(1)(2!) xx 4 xx 3 = 6 `

2) Maintenant que les coefficients du binôme de Newton sont un peu plus familiers, nous allons nous rapprocher un peu plus de ce que l'on cherche, à savoir une expression de la forme `(1 + b)^n `.

`(1 + b)^n = 1 + C_n^1\ b + C_n^2\ b^2 + C_n^3\ b^3 + . . . . + C_n^(n-1)\ b^(n-1) + C_n^n\ b^n `

En employant la forme `(2)` des coefficients du binôme, on obtient :

`p = 1, \ \ n - p + 1 = n`        `->   C_n^1 = frac(1)(1!) n `       puisqu'à chaque fois on multiplie les facteurs de `'n'` à `'n-p+1'`

`p = 2, \ \ n - p + 1 = n - 2 + 1 = n - 1`        `->   C_n^2 = frac(1)(2!) n(n - 1) `

`p = 3, \ \ n - p + 1 = n - 3 + 1 = n - 2`        `->   C_n^3 = frac(1)(3!) n(n - 1)(n - 2) `

`p = 4, \ \ . . . . . .`

ce qui donne comme expression :

`(1 + b)^n = 1 + nb + frac(n(n - 1))(2!) b^2 + frac(n(n - 1)(n - 2))(3!) b^3 + . . . . `

3) Pour cette dernière étape, commençons par un rappel :

Le développement en série de l'exponentielle ` 'e^x' ` est :

`e^x = 1 + x + frac(x^2)(2!) + frac(x^3)(3!) +frac(x^4)(4!) + . . . . . `

donc, pour `x = 1` , la valeur de `'e'` est :

`e = 1 + 1 + frac(1)(2!) + frac(1)(3!) +frac(1)(4!) + . . . . . `      `(3)`

- - - - - - - -

Reprenons maintenant notre dernière expression `(1 + b)^n` en posant `b = x` et ` n = frac(1)(x) ` ,

nous obtenons :

`(1 + x)^frac(1)(x) = 1 + frac(1)(x) x + frac(frac(1)(x)(frac(1)(x) - 1))(2!) x^2 + frac(frac(1)(x)(frac(1)(x) - 1)(frac(1)(x) - 2))(3!) x^3 + . . . . `

` = 1 + frac(1)(x) x + frac(frac(1)(x^2) (1 - x))(2!) x^2 + frac(frac(1)(x^3) (1 - x)( 1 - 2x))(3!) x^3 + . . . . `    en mettant `frac(1)(x^2)` en facteur pour le terme en `\ x^2`  ,

`frac(1)(x^3)` en facteur pour le terme en `\ x^3`  , . . . .

et on remarque que pour chaque terme de la somme, on peut faire les simplifications successives suivantes :

`frac(1)(x) x = 1`, `\ frac(1)(x^2) x^2 = 1`, `\ frac(1)(x^3) x^3 = 1`,  . . . . .

ce qui donne :

`(1 + x)^frac(1)(x) = 1 + 1 + frac(1 - x)(2!) + frac((1 - x)(1 - 2x))(3!) + ` . . . . .

et donc en prenant la limite lorsque `x->0` :

`color(blue) ( lim_(x->0)(1 + x)^frac(1)(x) ) = lim_(x->0) (1 + 1 + frac(1 - x)(2!) + frac((1 - x)(1 - 2x))(3!) + \ . . . . . )`

` = 1 + 1 + frac(1)(2!) + frac(1)(3!) + ` . . . . .      ce qui est égal à l'expression `(3)` de `'e'`

`color(blue) (= e ) `      ce que l'on voulait démontrer.