Les équations (8) et (9) pour les potentiels vecteurs sont les suivantes :

        ` A_x = 0 ` 
        ` A_y = bx `                 (8)
        ` A_z = 0 ` 

        ` A_x^' = -by ` 
        ` A_y^' = 0 `                   (9)
        ` A_z^' = 0 ` 

a) Les champs magnétiques obtenus sont donc :

        ` vec B \ \ = vec nabla xx vec A ` 
        ` vec B^' = vec nabla xx vec A^' ` 

avec :
        ` B_x = frac{del A_z}{del y}  - frac{del A_y}{del z} = 0  ` 
        ` B_y = frac{del A_x}{del z}  - frac{del A_z}{del x} = 0  ` 
        ` B_z = frac{del A_y}{del x}  - frac{del A_x}{del y} = b - 0 = b ` 

        ` B_x^' = frac{del A_z^'}{del y}  - frac{del A_y^'}{del z} = 0  ` 
        ` B_y^' = frac{del A_x^'}{del z}  - frac{del A_z^'}{del x} = 0  ` 
        ` B_z^' = frac{del A_y^'}{del x}  - frac{del A_x^'}{del y} = 0 - (-b) = b  ` 

qui donne :

        `color(blue) (vec B = vec B^' )`             ce que l'on voulait vérifier.

b) On est donc bien dans le cas où les deux potentiels vecteurs diffèrent d'un gradient   ` vec nabla s ` .

Le gradient   ` vec nabla s `    a pour composantes    ` ( frac{del s}{del x},\ frac{del s}{del y},\ frac{del s}{del z} ) ` .

Si    ` vec A^' = vec A + vec nabla s `  , alors    ` vec A^' `     a pour composantes :

        ` A_x^' = A_x + frac{del s}{del x} ` 

        ` A_y^' = A_y + frac{del s}{del y} ` 

        ` A_z^' = A_z + frac{del s}{del z} ` 

Pour passer de :

        ` vec A = ( (0), (bx), (0) )`     à    ` vec A^' = ( (-by), (0), (0) )` ,        ` s = -bxy + "Cte" `     semble être une solution.

puisque :
        ` vec nabla s = ( (-by), (-bx), (0) )`

et donc :

` vec A + vec nabla s = ( (0 - by), (bx - bx), (0) ) = ( (-by), (0), (0) ) = vec A^' `             ce que l'on cherchait.

On peut donc conserver    `color(blue) ( s = -bxy + "Cte" ) `     comme solution du champ scalaire dont le gradient rend inchangé la valeur du champ magnétique.