Symbole nabla `\ 'grad'`  . Apprivoisement du Gradient .

1) Rencontres :

a) Le symbole `\ nabla`   accompagné de `\ frac(del V)(del -)`   apparait en premier dans le corrigé L5e2.pdf du MAST :

` V = frac(1)(2) k r^2 `

` grad V = frac(del V)(del r) = k vec r `    avec un vecteur à droite et pas dans les deux termes de gauche, ce qui est perturbant,

b) ensuite dans ma proposition de correction de l'exercice 5.3 partie 2), on a l'expression :

` vec F = -(frac(del V)(del x) vec i + frac(del V)(del y) vec j) = - ( kx\ vec i + ky\ vec j) `   avec les mêmes dérivées partielles de ce potentiel 'V' ,

et qui est 'vectorielle' complètement en posant que `\ vec r = x vec i + y vec j `  .

c) et puis aussi, un peu plus loin dans ma proposition de correction de l'exercice 5.3 partie 2), on a l'expression :

` frac (del V)(del rho) `    en ayant posé que `\ rho^2 = x^2 + y^2` .

Tout ceci mérite quelques clarifications avec des définitions appropriées sur le lien entre dérivées partielles et `\ nabla`  .

2) Définition du gradient en repère cartésien :

C'est la première des définitions :

` color(blue) (frac(del V)(del x) vec i + frac(del V)(del y) vec j = vec grad V )`    les vecteurs ` \ vec i \ "et"\ vec j`   étant le long des axes Ox et Oy.

On peut donc écrire :

` vec F = - vec grad V `  qui se lit`\ vec F = -"'Gradient de V' ou 'grad de V' " `  , 'Gradient de V' étant un vecteur, pour la Rencontre b).

3) Définition du gradient avec le vecteur position `\ vec r `   :

Là aussi on s'appuie sur le 'repère cartésien', avec :

` vec r = x\ vec i + y\ vec j + z\ vec k`   , et `\ r = abs r = sqrt(x^2 + y^2 + z^2) `

la définition étant :

` color(blue) ( vec grad f(r) = frac( f^'(r) )(r) vec r )`

               

    ` vec grad f(r) = frac (del f)(del r) frac (del r)(del x) vec i + frac (del f)(del r) frac (del r)(del y) vec j + frac (del f)(del r) frac (del r)(del z) vec k `
et :
 
    ` frac(del r)(del x) = frac(2x)(2 sqrt(x^2 + y^2 + z^2) ) = frac(x)(r) `  de même pour `\ frac(del r)(del y)=frac(y)(r), frac(del r)(del z)= frac(z)(r)`
donc :
    
    ` vec grad f(r) = frac (del f)(del r) frac (x)(r) vec i + frac (del f)(del r) frac (y)(r) vec j + frac (del f)(del r) frac (z)(r) vec k `
                 ` = frac (del f)(del r) ( frac (x)(r) vec i + frac (y)(r) vec j + frac (z)(r) vec k) = frac (del f)(del r) ( frac (x vec i + y vec j + z vec k) (r) )`
                 ` = frac (del f)(del r) frac(vec r)(r) `
                
                 ` = frac( f^'(r) )(r) vec r `    ce que l'on recherchait
                 

Donc en revenant à la solution du MAST au début de l'exercice 5.2 , on a :

    ` V \ \ = f(r) = frac(k r^2)(2)`         ` =>   f^'(r) = kr `

    ` vec grad V = frac (f^'(r))(r) vec r = frac(kr)(r) vec r `

    ` vec grad V = k\ vec r `     ce qui est bien le résultat utilisé, et on retombe sur nos pieds avec un vecteur 
                                    de chaque coté du signe '=', ceci pour la Rencontre a) .

4) Définition du gradient en coordonnées polaires `\ 'rho,\ theta' `   :

En reprenant le Complément 5.2 sur les coordonnées polaires, les vecteurs de base sont maintenant :

` vec u_rho = cos theta\ vec i + sin theta\ vec j `

et le vecteur qui lui est perpendiculaire :

` vec u_theta = cos (theta + frac(pi)(2)) vec i + sin (theta + frac(pi)(2)) vec j `

` vec u_theta = - sin theta\ vec i + cos theta\ vec j `

Et on a posé ` \ rho^2 = x^2 + y^2`   .

La définition du gradient en coordonnées polaires est la suivante :

` color(blue) ( vec grad V(rho cos theta, rho sin theta) = frac(del V(rho, theta))(del rho) vec u_rho + frac(1)(rho) frac(del V(rho, theta))(del theta) vec u_theta )`

         

a) Prenons maintenant notre potentiel `\ V(x,y) `   sous sa forme habituelle en coordonnées cartésiennes :

    ` vec grad V = frac(del V)(del x) vec i + frac(del V)(del y) vec j `    mais avec maintenant `\ x = rho cos theta,\ y = rho sin theta `

et nous allons l'exprimer avec (le 'projeter' sur) nos nouveaux vecteurs `\ vec u_rho, \ vec u_theta` .


Quand on projette un vecteur `\ vec v_1`  sur un autre vecteur `\ vec v_2` , les deux faisant un angle `\ theta`  entre eux, cela revient 
à prendre la valeur `\ cos theta\ v_1` celle-ci devenant la composante de `\ vec v_2`  .

Avec le `\ cos theta`  on reconnait donc le 'produit scalaire' des deux vecteurs, le résultat devenant la composante de `\ vec v_2`   .

Cette projection s'écrit donc :

    ` (vec v_1 * vec v_2) vec v_2 = (a_1 a_2 + b_1 b_2) vec v_2 `   si les coordonnées des vecteurs sont `\ vec v_1(a_1, b_1),\ vec v_2(a_2, b_2)`



On obtient donc :

    ` vec grad V(rho cos theta, rho sin theta) = ( (frac(del V)(del x) vec i + frac(del V)(del y) vec j ) * vec u_rho)\ vec u_rho + ( (frac(del V)(del x) vec i + frac(del V)(del y) vec j ) * vec
    u_theta)\ vec u_theta `

                                          ` = ( (frac(del V)(del x) vec i + frac(del V)(del y) vec j ) * (cos theta\ vec i + sin theta\ vec j) )\ vec u_rho + ( (frac(del V)(del x) vec i + frac(del V)(del y) vec j ) * (- sin theta\ vec i
    + cos theta\ vec j ) )\ vec u_theta `

                                          ` = color(brown) ( ( frac(del V)(del x) cos theta + frac(del V)(del y) sin theta) ) vec u_rho + color(purple) ( ( - frac(del V)(del x) sin theta + frac(del V)(del y) cos theta) ) vec u_theta `

b) Regardons ensuite les composantes `\ frac(del V(rho, theta))(del rho)`   et `\ frac(del V(rho, theta))(del theta)`   de `\ vec grad V(rho, theta) `   .
On obtient :

    ` frac(del V(rho, theta))(del rho) = frac(del V)(del x) frac(del x)(del rho) + frac(del V)(del y) frac(del y)(del rho)`   puisque V est fonction de deux variables 'x' et 'y' elles-mêmes composées.

                       ` = color(brown) ( frac(del V)(del x) cos theta + frac(del V)(del y) sin theta )`
    et :

    ` frac(del V(rho, theta))(del theta) = frac(del V)(del x) frac(del x)(del theta) + frac(del V)(del y) frac(del y)(del theta)`

                       ` = frac(del V)(del x) (- rho sin theta) + frac(del V)(del y) (rho cos theta)`

                       ` = color(purple) ( rho ( frac(del V)(del x) (- sin theta) + frac(del V)(del y) cos theta ) )`

Les composantes `\ color(brown) ( frac(del V(rho cos theta, rho sin theta))(del rho) )`   et `\ color(brown) ( frac(del V(rho, theta))(del rho) )`   sont identiques,
tandis que :
Les composantes `\ color(purple) ( frac(del V(rho cos theta, rho sin theta))(del theta) )`   et `\ color(purple) ( frac(del V(rho, theta))(del theta) )`   diffèrent d'un facteur  `color(purple) (rho)` .

On obtient donc bien notre relation cherchée :
    ` color(blue) (vec grad V(rho cos theta, rho sin theta) = frac(del V(rho, theta))(del rho) vec u_rho + frac(1)(rho) frac(del V(rho, theta))(del theta) vec u_theta )`

Et en revenant à l'utilisation de :

` frac (del V)(del rho) = frac (-k)(rho^3) `   avec   ` V = frac(k)(rho^2)`      dans l'exercice 3 partie 2) ,

on peut dire qu'elle est correcte tout en étant simple comme annoncée puisque le potentiel ne comportant pas de variable `\ theta`   , la dérivée partielle avec `\ rho`   suffit .