Rappels :

` vec F = m vec a = m frac (d vec v)(dt) `     pour la 2ème loi de Newton.

` vec p = m vec v `           pour la quantité de mouvement.

` dot vec p = m frac (d vec v)(dt) = vec F `     pour le lien entre les deux.

` dot vec p_i = sum_j vec f_(i,j) `      pour l'ensemble des forces de toutes les particules 'j' qui s'exercent sur une particule 'i" .

` vec f_(i,j) = - vec f_(j,i) `     qui exprime la loi d'action et de réaction (3ème loi de Newton)

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1) On doit d'abord montrer que :

` sum_i vec F_i = sum_i dot vec p_i = sum_i sum_j vec f_(i,j) = 0 `      le système isolé constitué de toutes les particules est en équilibre.

Remarque : c'est la première fois que Léonard Susskind nous demande de jouer avec les indices.

Il s'en donnera à coeur joie dans le 3ème volume.

On peut donc écrire que :

` sum_i dot vec p_i = ( sum_(i=1) sum_j vec f_(i,j) ) + ( sum_(i=2) sum_j vec f_(i,j) ) + ( sum_(i=3) sum_j vec f_(i,j) ) + . . . . + ( sum_(i=N-1) sum_j vec f_(i,j) ) + ( sum_(i=N) sum_j vec f_(i,j) )`

avec :

` sum_(i=1) sum_j vec f_(i,j) = vec f_(1,1) + color(green) (vec f_(1,2) ) + color(brown) (vec f_(1,3) ) + . . . . . + color(lime) (vec f_(1,N-1) ) + color(fuchsia) (vec f_(1,N) ). `

` sum_(i=2) sum_j vec f_(i,j) = color(green) (vec f_(2,1) ) + vec f_(2,2) + color(aqua) (vec f_(2,3) ) + . . . . . + color(olive) (vec f_(2,N-1) ) + color(orange) (vec f_(2,N) ). `

` sum_(i=3) sum_j vec f_(i,j) = color(brown) (vec f_(3,1) ) + color(aqua) (vec f_(3,2) ) + vec f_(3,3) + . . . . . + color(navy) (vec f_(3,N-1) ) + color(maroon) (vec f_(3,N) ). `

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` sum_(i=N-1) sum_j vec f_(i,j) = color(lime) (vec f_(N-1,1) ) + color(olive) (vec f_(N-1,2) ) + color(navy) (vec f_(N-1,3) ) + . . . . . + vec f_(N-1,N-1) + color(brown) (vec f_(N-1,N) ). `

` sum_(i=N) sum_j vec f_(i,j) = color(fuchsia) (vec f_(N,1) ) + color(orange) (vec f_(N,2) ) + color(maroon) (vec f_(N,3) ) + . . . . . + . . . . + color(brown) (vec f_(N,N-1) ) + vec f_(N,N) . `

Lorsqu'on effectue la somme ` sum_i dot vec p_i `   les termes de même couleur s'annulent puisque ` color(blue) (vec f_(i,j) = - vec f_(j,i) `   vu la 3ème loi de Newton d'action et de réaction.

Il reste cependant la somme ` f_(1,1) + f_(2,2) + f_(3,3) + . . . . + f_(N-1,N-1) + f_(N,N) ` ,

mais chaque terme ` color(blue) ( f_(i,i) = 0 ) `   puisqu'il représente la force que chaque particule exerce sur elle-même. Heureusement sinon ce serait un peu le chaos.

On obtient bien donc :

` color(blue) ( sum_i dot vec p_i = 0 ) `    ce que l'on recherchait dans un premier temps.

2) Continuons. On peut maintenant écrire aussi :

` sum_i dot vec p_i = sum_i frac(d)(dt) vec p_i = 0 `   

Et comme on l'a vu dans les chapitres précédents :

` frac(d)(dt)f(t) = 0   =>   f(t) = "constante" `

donc :

` sum_i frac(d)(dt) vec p_i = frac(d)(dt) sum_i vec p_i = 0   =>   color(blue) (sum_i vec p_i = "constante" ) `  

Remarque : La première égalité ci-dessus indique que 'la somme des dérivées est égale à la dérivée de la somme', et a été démontrée précédemment.

Cela signifie bien que la somme des quantités de mouvement d'un système isolé reste constante, et est donc conservée,

ce que l'on voulait démontrer .