Le Lagrangien utilisé pour déterminer les équations d'Euler-Lagrange du pendule double est celui obtenu dans le Complément 7.1 :

        `L = m r^2 ( dot theta^2 + frac((dot theta + dot alpha)^2)(2) + dot theta(dot theta + dot alpha) cos alpha ) + mgr(2 cos theta + cos (theta + alpha) ) ` 

Les équations d'Euler-Lagrange vont donc être les suivantes :

1) Pour la variable ` theta ` :


    ` frac(del L)(del dot theta) = mr^2 [ 2 dot theta + frac(1)(2) 2 (dot theta + dot alpha) + cos alpha ((dot theta + dot alpha) + dot theta) ] ` 
             ` = mr^2 [ 3 dot theta + dot alpha + (2 dot theta + dot alpha) cos alpha ] ` 
et donc :

    ` frac(d)(dt) frac(del L)(del dot theta) = mr^2 [ 3 ddot theta + ddot alpha + (2 ddot theta + ddot alpha)cos alpha + (2 dot theta + dot alpha) (dot alpha)(-sin alpha) ] ` 
                  ` = mr^2 [ 3 ddot theta + ddot alpha + (2 ddot theta + ddot alpha)cos alpha - dot alpha (2 dot theta + dot alpha) sin alpha ] ` 



Pour effectuer la dérivation de    ` frac(d)(dt) cos alpha(t) `     on a utilisé la formule :

    ` frac(d)(dt) f(u(t)) = frac(df)(du) frac(du)(dt) `     avec    ` f() = cos alpha `     et    ` u(t) = alpha(t) ` 

ce qui donne :

    ` frac(d)(dt) cos alpha(t) = frac(d cos alpha)(d alpha) frac(d alpha)(dt) ` 
                         ` = - dot alpha sin alpha(t) ` 



et :
        ` frac(del L)(del theta) = - mgr ( 2 sin theta + sin(theta + alpha) )` 



Soit :
                                                                                          `frac(d)(dt) frac(del L)(del dot theta) = frac(del L)(del theta) ` 
        ` mr^2 [ 3 ddot theta + ddot alpha + (2 ddot theta + ddot alpha)cos alpha - dot alpha (2 dot theta + dot alpha) sin alpha ] = - mgr ( 2 sin theta + sin(theta + alpha) ) ` 


et après simplification par   ` mr `  :

        ` r [ 3 ddot theta + ddot alpha + (2 ddot theta + ddot alpha)cos alpha - dot alpha (2 dot theta + dot alpha) sin alpha ] = - g ( 2 sin theta + sin(theta + alpha) ) ` 

        `color(blue) ( 3 ddot theta + ddot alpha + (2 ddot theta + ddot alpha)cos alpha - dot alpha (2 dot theta + dot alpha) sin alpha = - frac(g)(r) ( 2 sin theta + sin(theta + alpha) ) )` 

2) Pour la variable ` alpha ` :


    ` frac(del L)(del dot alpha) = mr^2 (frac(1)(2) 2(dot theta + dot alpha) + dot theta cos alpha ) ` 
             ` = mr^2 (dot theta (1 + cos alpha) + dot alpha ) ` 
d'où :

    ` frac (d)(dt) frac(del L)(del dot alpha) = mr^2 [ ddot theta(1 + cos alpha) + dot theta(dot alpha(- sin alpha)) + ddot alpha ] ` 
                   ` = mr^2 [ ddot theta(1 + cos alpha) - dot theta dot alpha sin alpha + ddot alpha ] `
et :

    ` frac(del L)(del alpha) = mr^2 (- dot theta(dot theta + dot alpha) sin alpha) - mgr\ sin (theta + alpha) ` 
             ` = - mr^2 \ dot theta(dot theta + dot alpha) sin alpha - mgr\ sin (theta + alpha) ` 



soit :
                                                         `frac(d)(dt) frac(del L)(del dot alpha) = frac(del L)(del alpha) ` 
    ` mr^2 ( ddot theta(1 + cos alpha) - dot theta dot alpha\ sin alpha + ddot alpha ) = - mr^2 \ dot theta(dot theta + dot alpha) sin alpha - mgr\ sin (theta + alpha) ` 

puis en simplifiant par     ` mr`     :

    ` r ( ddot theta(1 + cos alpha) - dot theta dot alpha\ sin alpha + ddot alpha)) = - r \ dot theta(dot theta + dot alpha) sin alpha - g\ sin (theta + alpha) ` 

et par     ` - r \ dot theta dot alpha\ sin alpha `     des deux côtés :

    ` r ( ddot theta(1 + cos alpha) + ddot alpha)) = - r \ dot theta dot theta\ sin alpha - g\ sin (theta + alpha) ` 
    ` r ( ddot theta(1 + cos alpha) + dot theta^2 sin alpha + ddot alpha) =  - g\ sin (theta + alpha) ` 

    `color(blue) ( ddot theta(1 + cos alpha) + dot theta^2 sin alpha + ddot alpha =  - frac(g)(r)\ sin (theta + alpha) )`