Les équations (25) et (26) sont les suivantes :

        ` a_x = frac{eb}{mc} v_y `                             (26)

        ` a_y = -frac{eb}{mc} v_x `                        (25)



Comme :
        ` a_x = ddot x`     ,    ` v_x = dot x ` 
        ` a_y = ddot y`     ,    ` v_y = dot y ` 

et en posant :

        ` k = frac{eb}{mc} ` 

les équations deviennent :

        ` ddot x = k\ dot y `                           (1)
        ` ddot y = -k\ dot x `                     (2)



C'est un système linéaire d'équations différentielles du second ordre à deux inconnues, et nous n'avons pas appris
pour l'instant à le résoudre.



Cependant, vu l'énoncé, nous allons vérifier que l'équation d'une orbite circulaire avec le centre
n'importe où dans le plan vérifie ces équations différentielles.

L'équation de cette orbite circulaire (un cercle) s'écrit :

        ` ( x(t) - a )^2 + ( y(t) - b )^2 = R^2 `                     le centre du cercle ayant les coordonnées    ` (x_c =a,\ y_c =b) ` 

ou encore pour cette équation :

        `color(brown) ( x(t) - a = R\ sin omega t )` 
        `color(brown) ( y(t) - b  = R\ cos omega t )` 

Nous allons écrire maintenant les dérivées du premier et du second ordre pour les deux variables. On obtient :

        ` x(t) = R\ sin omega t - a ` 
        ` y(t) = R\ cos omega t - b `

        ` dot x = R omega\ cos omega t ` 
        ` dot y = -R omega\ sin omega t `

        ` ddot x = -R omega^2\ sin omega t ` 
        ` ddot y = -R omega^2\ cos omega t `

Pour la résolution, l'équation différentielle (2) nous indique     ` ddot y = -k\ dot x `    ,   
soit :
        ` -R omega^2\ cos omega t  = -k\ R omega\ cos omega t `

cela nous donne donc :

        `color(brown) ( k = omega )`                         (3)

Sachant que :

        ` v = omega R `                     A vitesse angulaire constante, plus le rayon est grand, plus le point sur le cercle tourne vite.

        ` omega = frac{v}{R} ` 

d'où, avec l'équation (3) :

        ` k = frac{v}{R} ` 

et :
        ` R = frac{v}{k} ` 

Comme :
        ` k = frac{eb}{mc} ` 

le rayon s'écrit :

        `color(blue) ( R = v frac{mc}{eb} )`                         le rayon étant bien fonction de la vélocité.

L'équation de notre orbite circulaire est donc :

        `color(blue) ( ( x(t) - a )^2 + ( y(t) - b )^2 = ( v frac{mc}{eb} )^2 )`                  le centre du cercle de coordonnées    ` (x_c =a,\ y_c =b) `    ayant des valeurs quelconques. 

Et elle vérifie bien les équations (25) et (26) comme demandé.