Remarque :

La présence de cet exercice vaut pour l'astuce concernant la dérivée d'un produit de fonctions (chain rule) dont la mise en oeuvre peut être comparée à la solution l2e4.pdf du Mast, ainsi que les autres démonstrations d'ailleurs.

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1) Démonstration de la dérivée d'une somme de fonctions :

` frac(d)(dt) (f+g)(t) = frac(df(t))(dt) + frac(dg(t))(dt `   à démontrer

` color(blue) ( frac(d)(dt) (f+g)(t) ) = lim_(Delta t ->0) frac((f+g)(t + Delta t) - (f+g)(t))(Delta t)`

`= lim_(Delta t ->0) frac( f(t + Delta t) + g(t + Delta t) - f(t) - g(t) )(Delta t)`

`= lim_(Delta t ->0) frac( f(t+Delta t) - f(t) + g(t + Delta t) - g(t))(Delta t)`

`= lim_(Delta t ->0) frac( f(t+Delta t) - f(t))(Delta t) + lim_(Delta t ->0) frac( g(t + Delta t) - g(t))(Delta t)`

`color(blue) (= frac(df(t))(dt) + frac(dg(t))(dt) )`   ce que l'on voulait démontrer.

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2) Démonstration de la dérivée d'un produit de fonctions :

` frac(d)(dt) (fg)(t) = frac(df(t))(dt) g(t) + frac(dg(t))(dt) f(t)`    à démontrer.

` color(blue) ( frac(d)(dt) (fg)(t) ) = lim_(Delta t ->0) frac((fg)(t + Delta t) - (fg)(t))(Delta t)`

`= lim_(Delta t ->0) frac(f(t + Delta t) g(t + Delta t)- f(t)g(t))(Delta t)`

Première astuce : rajouter deux termes adéquats qui s'annulent pour ne pas changer l'égalité.

` frac(d)(dt) (fg)(t) = lim_(Delta t ->0) frac(f(t + Delta t) g(t + Delta t) color(maroon) (\ - f(t) g(t + Delta t) + f(t) g(t + Delta t)) - f(t)g(t))(Delta t)`

`= lim_(Delta t ->0) g(t + Delta t) frac(f(t + Delta t) - f(t))(Delta t) + lim_(Delta t ->0) f(t) frac(g(t + Delta t) - g(t))(Delta t)`     en faisant les mises en facteur.

Deuxième astuce : `lim_(Delta t ->0) g(t + Delta t) = g(t)` ,   donc :

` frac(d)(dt) (fg)(t) = lim_(Delta t ->0) g(t) frac(f(t + Delta t) - f(t))(Delta t) + lim_(Delta t ->0) f(t) frac(g(t + Delta t) - g(t))(Delta t)`

ce qui donne maintenant en sortant les facteurs `g(t)` et `f(t)` non soumis à la limite :

` color(blue) (frac(d)(dt) (fg)(t) ) = g(t)lim_(Delta t ->0) frac(f(t + Delta t) - f(t))(Delta t) + f(t) lim_(Delta t ->0) frac(g(t + Delta t) - g(t))(Delta t)`    

`color(blue) ( = g(t) frac(df(t))(dt) + f(t) frac(dg(t))(dt) )`    ce que l'on voulait démontrer.

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3) Démonstration de la dérivée d'une fonction de fonction (fonction composée) :

`color(blue) (frac( d(f(g))(t) )(dt) ) = frac(df)(dt) frac(dg)(dg)`

`color(blue) (= frac(df(g))(dg) frac(dg(t))(dt) )`