Explication de la formule page 112 : ` -sum_i dot x_i frac(del V ({x}) ) (del x_i) = - frac(dV)(dt) `

1) Cette formule vient de la définition de la Différentielle totale. Explications :

De la même manière que l'on écrit :

` y = f(x) `     pour une fonction à une seule variable,

avec :

` frac(dy)(dx) = f^'(x)`   la définition de la dérivée et donc de la pente,

on a :

` dy = f^'(x) dx ` ,     ` dy ` représentant l'accroissement de la fonction ` 'y'` pour un petit déplacement de ` 'x'` ,

on peut écrire :

si `\ z = f(x, y)`     est une fonction à deux variables,

` dz = frac(del f)(del x)dx + frac(del f)(del y)dy ` ,   ` dz ` représentant l'accroissement de la fonction ` 'z'` pour un petit déplacement de ` 'x'` et de ` 'y' `

Les dérivées partielles ` frac(del f)(del x) ` et `\ frac(del f)(del x) ` étant respectivement les 'pentes' dans les directions Ox et Oy comme introduit dans l'Interlude 3.

` color(blue) (dz = frac(del f)(del x)dx + frac(del f)(del y)dy )` ,  est la Différentielle totale de ` z ` .

Exemple de calcul avec de petits accroissements d'une fonction :

Si ` A ` est l'aire d'un rectangle `\ xy ` et que l'on veut calculer ` A ` avec ` x = 35,02\ m\ "et"\ y = 24,97\ m `, on a :

` dA = frac(del A)(del x)dx + frac(del A)(del y)dy = y\ dx + x\ dy `   avec   ` dx = + 0,02 `  et ` dy = -0,03 `

` = 25 xx 0,02 + 35 xx(-0,03) = -0,55 `

donc :

` A = 35 xx 25 - 0,55 = 874,45 ` mètres carrés approximativement.

Cet exemple est tiré du chapitre 57 "Total derivatives" de CALCULUS aux Editions Schaum's Outline series.

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Cela était indiqué page 88 sous une forme un peu différente :

` delta A = sum_i frac (del A)(del x_i)delta x_i `

que l'on peut rapprocher de la forme que l'on vient de voir :

` dA = sum_(i=1)^(i=2) frac (del A)(del x_i)dx_i `    avec `\ x_1 = x, \ \ x_2 = y`

2) Si maintenant on revient à notre Différentielle totale de ` z `

` dz = frac(del f)(del x)dx + frac(del f)(del y)dy ` , 

et que l'on regarde sa variation par rapport au temps (à condition que l'on ait des ` \ x_i(t)` ), on va diviser `\ dz `  par ` dt` et donc :

` frac (dz)(dt) = frac(del f)(del x)frac (dx)(dt) + frac(del f)(del y)frac (dy)(dt) ` , 

` frac (dz)(dt) = frac(del f)(del x)dot x + frac(del f)(del y)dot y ` , 

ou :

` frac(dA)(dt) = sum_(i=1)^(i=2) frac (del A)(del x_i)dot x_i `    avec `\ x_1 = x, \ \ x_2 = y`

et d'une manière générale :

` color(blue) ( frac(dA)(dt) = sum_i frac (del A(x_i))(del x_i)dot x_i = sum_i frac (del A({x})) (del x_i)dot x_i ) `      ce que l'on voulait expliquer.