Remarque :

L'approche proposée ici diffère par certains points des solutions l2e5.pdf du site Mast.

Rappels :

`. sin(a + b) = sina cosb + sinb cosa`

`. cos(a + b) = cosa cosb - sina sinb`

. Le développement en série de `cos t` étant `1 - frac(t^2)(2!) + frac(t^4)(4!) - `. . .

`lim_(Delta t -> 0) cos(Delta t) = 1 `     puisque les termes `(-1)^n frac((Delta t)^(2n))((2n)!)` sont négligeables.

. Le développement en série de `sin t` étant `t - frac(t^3)(3!) + frac(t^5)(5!) - `. . .

`lim_(Delta t -> 0) sin(Delta t) = Delta t `     puisque les termes `(-1)^n frac((Delta t)^(2n+1))((2n+1)!)` sont négligeables.

1) Démonstration de `frac(d(sin t))(dt) = cos t`

Donc :

`color(blue) ( frac(d(sin t))(dt) ) = lim_(Delta t -> 0) frac(sin(t + Delta t) - sin t)(Delta t) `

`= lim_(Delta t -> 0) frac((sin t cos (Delta t) + sin (Delta t) cos t) - sin t)(Delta t) `

`= lim_(Delta t -> 0) frac(sin t + sin (Delta t) cos t - sin t)(Delta t) `    puisque `lim_(Delta t -> 0) cos(Delta t) = 1 `

`= lim_(Delta t -> 0) frac(sin (Delta t) cos t)(Delta t) `    après simplification de `sin t`.

`= lim_(Delta t -> 0) frac(Delta t cos t)(Delta t) `    puisque `lim_(Delta t -> 0) sin(Delta t) = Delta t `

`color(blue) ( = cos t )`      après simplification par `Delta t`,

ce que l'on voulait démontrer.

2) Démonstration de `frac(d(cos t))(dt) = -sin t`

Donc :

`color(blue) ( frac(d(cos t))(dt) ) = lim_(Delta t -> 0) frac(cos(t + Delta t) - cos t)(Delta t) `

`= lim_(Delta t -> 0) frac((cos t cos (Delta t) - sin (Delta t) sin t) - cos t)(Delta t) `

`= lim_(Delta t -> 0) frac(cos t - sin (Delta t) sin t - cos t)(Delta t) `    puisque `lim_(Delta t -> 0) cos(Delta t) = 1 `

`= lim_(Delta t -> 0) frac(-sin (Delta t) sin t)(Delta t) `    après simplification de `cos t`.

`= lim_(Delta t -> 0) frac(-Delta t sin t)(Delta t) `    puisque `lim_(Delta t -> 0) sin(Delta t) = Delta t `

`color(blue) ( = -sin t )`      après simplification par `Delta t`,

ce que l'on voulait démontrer.

3) Démonstration de `frac(d (e^t))(dt) = e^t` .

Rappel :

Le développement en série de `\ e^t` étant   `1 + frac(t)(1!) + frac(t^2)(2!) + frac(t^3)(3!) + ` . . . .

`lim_(Delta t -> 0) e^(Delta t) = 1 + Delta t `    les termes `frac((Delta t)^n)(n!)`étant négligeables.

Donc :

`color(blue) ( frac(d(e^t))(dt) ) = lim_(Delta t -> 0) frac(e^(t + Delta t) - e^t)(Delta t) `

`= lim_(Delta t -> 0) frac(e^t e^(Delta t) - e^t)(Delta t) `

`= lim_(Delta t -> 0) frac(e^t(1 + Delta t) - e^t)(Delta t) `    puisque `lim_(Delta t -> 0) e^(Delta t) = 1 + Delta t `

`= lim_(Delta t -> 0) frac(Delta t \ e^t)(Delta t) `    après simplification de `e^t`.

`color(blue) ( = e^t )`      après simplification par `Delta t`,  ce que l'on voulait démontrer.

4) Démonstration de `frac(d (ln t))(dt) = frac(1)(t)` .

Rappel :

La valeur de ` 'e' ` (exponentielle) est définie comme étant : `lim_(x ->0) (1 + x)^(frac(1)(x))`

Si nécessaire, la démonstration de cette valeur de `'e'` est dans le complément 2.1 .

Donc :

`frac(d (ln t))(dt) = lim_(Delta t -> 0) frac(ln(t + Delta t) - ln t)(Delta t) `    

`= lim_(Delta t -> 0) frac(1)(Delta t) ln(frac(t + Delta t)(t))`     puisque `ln a - ln b = ln frac(a)(b) `

`= lim_(Delta t -> 0) frac(1)(Delta t) ln( 1 + frac(Delta t)(t))`    

`= lim_(Delta t -> 0) ln (1 + frac(Delta t)(t))^frac(1)(Delta t)`    puisque `b ln a = ln a^b `

La valeur à l'intérieur du logarithme est presque celle de `'e' ` indiquée dans le rappel, mais il manque la valeur `'t' ` au numérateur de l'exposant.

L'astuce est donc de faire apparaitre cette valeur `'t' ` sans changer la valeur de l'équation, ce qui donnera `x = frac(Delta t)(t)`.

`color(blue) ( frac(d (ln t))(dt) ) = lim_(Delta t -> 0) color(maroon) (frac(t)(t)) frac(1)(Delta t) ln( 1 + frac(Delta t)(t))`    

`= lim_(Delta t -> 0) frac(1)(t) frac(t)(Delta t) ln( 1 + frac(Delta t)(t))`  

`= lim_(Delta t -> 0) frac(1)(t) ln (1 + frac(Delta t)(t))^frac(t)(Delta t) = frac(1)(t) lim_(Delta t -> 0) ln (1 + frac(Delta t)(t))^frac(t)(Delta t) = frac(1)(t) ln (lim_(Delta t -> 0) (1 + frac(Delta t)(t))^frac(t)(Delta t) )`   

On peut écrire cette dernière égalité `'lim (ln(x)) = ln( lim(x))'`

parce que la fonction `ln(x) ` (logarithme) est continue.

` = frac(1)(t) ln e `

` color(blue) (= frac(1)(t) )`      puisque ` 'ln e = 1' ` , et donc ce que l'on voulait démontrer.