La solution trouvée pour la courbe du mouvement de l'exercice 6.4 et sans Force agissant sur la particule :
        `color(blue) ( { (theta, = omega t + varphi), (R, = v_0 t + R_0) :} ) ` 

est simple; à savoir :
        - l'équation en '` theta`' pour le manège,
        - l'équation en '` R `' d'un Mouvement Rectiligne Uniforme pour l'éloignement de la particule

Ceci tend à nous faire penser que si la particule avait un Mouvement Uniformément Accéléré, il y aurait une Force, 
et donc un potentiel agissant sur elle.

Le mouvement aurait alors la forme   ` frac(1)(2) gamma\ t^2 + v_0 t + R_0 `  .
Mais quelle serait l'expression du potentiel ? 



Essayons le potentiel  ` V = k sqrt(x^2 + y^2) ` .

Le Lagrangien de Lenny va devenir :
        ` L_2 = frac(m)(2) (dot x^2 + dot y^2) + k sqrt(x^2 + y^2) `  ,
 
et en appliquant les expressions de changement de référentiel pour se transporter chez George :
        ` x = \ X cos omega t + Y sin omega t` 
        ` y = -X sin omega t + Y cos omega t` 

le potentiel devient chez George :

        ` V = k \ sqrt( (X cos omega t + Y sin omega t)^2 + (-X sin omega t + Y cos omega t)^2 ) ` 
            ` = k\ sqrt( (X^2 cos^2 omega t + cancel(2 XY cos omega t\ sin omega t) + Y^2 sin^2 omega t) + (X^2 sin^2 omega t - cancel(2 XY sin omega t\ cos omega t) + Y^2 cos^2 omega t) ) ` 
            ` = k\ sqrt(X^2 (cos^2 omega t + sin^2 omega t) + Y^2 (sin^2 omega t + cos^2 omega t)) ` 


        ` color(brown) ( V = k\ sqrt(X^2 + Y^2) = k\ R ) ` 

avec son potentiel en cartésien :
        ` L_(G2) = frac(m)(2)(dot X^2 + dot Y^2) + frac(m\ omega^2)(2)(X^2 + Y^2) + mw (dot X Y - X dot Y) + k\ sqrt(X^2 + Y^2) `         puisque seul le dernier terme a été rajouté.

et en polaire :
        ` color(brown) ( L_(G2) = frac(m)(2)(dot R^2 + R^2 dot theta^2) + frac(m\ omega^2)(2)R^2 - m omega R^2 dot theta + k\ R )`                 et là aussi.


Et c'est à partir de ce deuxième lagrangien que l'on applique comme précédemment les équations d'Euler-Lagrange à plusieurs variables :

        ` frac(d)(dt)frac(del L)(dot x_i) - frac(del L)(del x_i) = 0 `         avec ` x_1 = R(t) `   et  ` x_2 = theta(t) `

ce qui nous donne :

Pour ` x_1(t) = R(t) ` :

` frac(del L)(del dot R) = frac(1)(2) 2 m dot R = m dot R \ \ \ => \ \ frac(d)(dt)frac(del L)(dot R) = m ddotR ` 

` frac(del L)(del R) = frac(1)(2) 2 m R dot theta^2 + m omega^2 R - 2m omega R dot theta = m R dot theta^2 - 2m omega R dot theta + m omega^2 R + k ` 


        ` color(brown)(m ddotR = m R dot theta^2 - 2m omega R dot theta + m omega^2 R + k )` 

et en simplifiant :
        ` m ddot R = m R(dot theta^2 - 2 omega dot theta + omega^2) + k ` 
        `color(brown)(m ddot R = m R(dot theta - omega)^2 + k)`                 C'est là qu'il y a un changement .

Ensuite :

Pour ` x_2(t) = theta(t) ` :

` frac(del L)(del dot theta) = frac(1)(2) 2 m R^2 dot theta - m omega R^2 = m R^2 dot theta \ \ \ => \ \ frac(d)(dt)frac(del L)(del dot theta) = m R^2 ddot theta ` 

` frac(del L)(del theta) = 0 ` 


        `color(brown) (m R^2 ddot theta = 0 )`

Le mouvement recherché est donc donné par le système linéaire suivant des équations en coordonnées polaires : 

        ` color(blue) ( { (\ \ \ m ddot R, = m R(dot theta - omega)^2 + k), ( m R^2 ddot theta, = 0) :} ) `

En résolvant de la même manière que dans le complément 6.2, et donc en commençant par la seconde équation, on obtient :
        ` m R^2 ddot theta = 0 ` 

ce qui donne :
        ` ddot theta = 0 `
        ` dot theta = k_1 ` 
        ` theta = k_1 t + k_2` 

que l'on peut mettre sous la forme habituelle :
        ` theta = omega_1 t + varphi `             avec  '` omega_1 `'    car il y a déjà un  ` omega`  dans la 1ère équation.
        ` dot theta = omega_1 ` 

 
Il n'y a qu'un seul mouvement tournant, à savoir celui du manège, on peut faire l'hypothèse  ` omega_1 = omega ` .



En reportant cette solution dans la 1ère équation qui est maintenant :
        ` m ddot R = m R(dot theta - omega)^2 + k = m R(omega_1 - omega)^2 + k ` 

et en tenant compte de la remarque précédente, on obtient dans la première équation :
        ` m ddot R = k ` 
        ` ddot R = frac(k)(m) `

et :
        ` dot R = frac(k)(m) t + k_3`

        ` R = frac(1)(2)frac(k)(m) t^2 + k_3\ t + k_4 ` 

avec la forme habituelle pour un Mouvement Uniformément Accéléré :
        ` R = frac(1)(2) gamma\ t^2 + v_0 t + R_0 `             avec   ` gamma = frac(k)(m) `         ce que l'on recherchait.
De plus le facteur '` m `'  au dénominateur signifie bien que plus la masse est importante, plus l'accélération est faible.

Nous avons donc maintenant la solution de notre nouvelle courbe du mouvement :
        `color(blue) ( { (theta, = omega t + varphi), (R, = frac(1)(2) gamma\ t^2 + v_0 t + R_0) :} ) ` 

La courbe obtenue avec les valeurs :
        ` {: (varphi ,= 0), (R_0 ,= 1), (gamma ,=\ "variable"), (v_0 ,=\ "variable") :} ` 

est la suivante :
   C'est toujours une spirale (la bleue), comme on s'y attendait, puisque George sur son manège va voir cette particule
en étant régulièrement rapproché d'elle et éloigné d'elle, mais la particule s'éloigne de plus en plus vite.

Il est plus facile d'écrire la courbe sous la forme   ` r = f(theta)\ . `  

Dans notre cas, avec la courbe en Mouvement Rectiligne Uniforme :
       ` theta = omega\ t    =>    t = frac(theta)(omega)` 
       ` r = v_0 t + 1 ` 
on écrit directement :
       ` r = v_0 frac(theta)(omega) + 1 `                en ayant déclaré '` v_0`' et  '` omega `' en tant que 'curseur' .

et pour la courbe en Mouvement Accéléré Uniforme :
       ` theta = omega\ t    =>    t = frac(theta)(omega)` 
       ` r = frac(1)(2) gamma\ t^2 + v_0 t + 1 ` 
on écrit directement :
       ` r = frac(1)(2) gamma (frac(theta)(omega))^2 +  v_0 frac(theta)(omega) + 1 `            avec  '` gamma `'  comme curseur supplémentaire.


Conclusion :
Notre potentiel :
        ` color(blue) (V = k sqrt(x^2 + y^2) ) ` 

a bien la forme nécessaire à l'obtention d'un Mouvement Accéléré Uniforme de la particule.
(Bon, c'est vrai que j'avais fait quelques calculs auparavant).