On doit donc montrer que, dans le cas de la transformation par rotation, une variation infinitésimale ne change pas le Lagrangien.

Avec le Lagrangien :
        ` L = frac(m)(2)(dot x^2 + dot y^2) - V(x^2 + y^2) ` 

Pour le déplacement infinitésimal de   ` delta -> 0 `  , nous avons vu précédemment que :
        ` cos delta -> 1 `    et que   ` sin delta -> delta  ` 

et dans le cas de la rotation avec  ` theta = delta -> 0 ` :
        ` x -> \ \ x cos delta + y sin delta ` 
        ` y -> -x sin delta + y cos delta ` 

cela nous donne :
        ` x -> \ \ x + y delta `                 ` (1)  ` 
        ` y -> -x delta + y ` 

avec donc :
        ` dot x -> \ \ dot x + dot y delta `                 ` (2)  ` 
        ` dot y -> -dot x delta + dot y ` 

Pour les deux expressions du Lagrangien avec les variables élévées au carré, on obtient à partir de (1) :

        ` x^2 -> x^2 + 2xy delta + (y delta)^2 ` 
        ` y^2 -> y^2 - 2xy delta + (- x delta)^2 ` 

` =>\  x^2 + y^2 -> x^2 + y^2 + (y delta)^2 + (x delta)^2 ` 

et à partir de (2) :

        ` dot x^2 -> \ \ dot x^2 + 2 dot x dot y delta + (dot y delta)^2 ` 
        ` dot y^2 -> \ \ (- dot x delta)^2 - 2 dot x dot y delta + dot y^2 ` 

` =>\ dot x^2 + dot y^2 -> dot x^2 + dot y^2 + (dot y delta)^2 + (dot x delta)^2 ` 

Lors de la transformation infinitésimale de la rotation, le Lagrangien est devenu :

        `color(brown) ( L -> frac(m)(2)(dot x^2 + dot y^2 + (dot y delta)^2 + (dot x delta)^2 ) - V(x^2 + y^2 + (y delta)^2 + (x delta)^2 ) )` 

mais les termes avec   ` delta  `  sont du 2ème ordre, et chacun  ` -> 0 `  lorsque  ` delta -> 0 ` .

En considérant maintenant le Lagrangien au 1er ordre, on a :
        ` L = frac(m)(2)(dot x^2 + dot y^2) - V(x^2 + y^2) `         qui n'a pas changé.

On a donc vérifié que, dans le cas de la transformation par rotation, une variation infinitésimale ne change pas le Lagrangien au 1er ordre.



On peut aussi écrire que si on considère l'expression  ` delta L `  avec ` L `   au 1er ordre :
        ` delta L = delta frac(m)(2)(dot x^2 + dot y^2) - delta V(x^2 + y^2) ` 

avec  ` delta -> 0  ` ,

alors :
        `color (blue) ( delta L -> 0 )`         puisque chaque terme est multiplié par ` delta -> 0 `  ,

        ce que l'on voulait aussi vérifier.