Lorsqu'on s'exprime en coordonnées polaires, le moment angulaire est donné par les moments conjugués des différentes variables :

        ` p_i = frac(del L)(del dot q_i) ` 

ainsi que : 

        ` dot p_i = frac(del L)(del q_i) `

Dans notre cas on a :

        ` p = p_theta + p_alpha ` 

et le Lagrangien :

        `L = m r^2 ( dot theta^2 + frac((dot theta + dot alpha)^2)(2) + dot theta(dot theta + dot alpha) cos alpha ) + mgr(2 cos theta + cos (theta + alpha) ) ` 

ce qui donne :

        ` p_theta = frac(del L)(del dot theta) = mr^2 [ 3 dot theta + dot alpha + (2 dot theta + dot alpha) cos alpha ] `

        ` p_alpha = frac(del L)(del dot alpha) = mr^2 (dot theta (1 + cos alpha) + dot alpha ) ` 

et donc pour le moment angulaire (ou cinétique) total :

        `color(blue) ( p = l = mr^2(4 dot theta + 2 dot alpha + ( 3 dot theta  + dot alpha) cos alpha) )` 

En l'absence de potentiel gravitationnel (donc pas de terme en    ` mgr ` dans le Lagrangien)    , on a :

        ` dot p_theta = frac(del L)(del theta)  = 0 `
et :
        ` dot p_alpha = frac(del L)(del alpha)  = 0 `

donc :
        `dot p_theta + dot p_alpha = 0 ` 

d'où :
        `color(blue) ( p_theta + p_alpha = "Cte" )`             , le moment angulaire est constant donc conservé, ce que l'on voulait démontrer.



Dans le cas d'absence de potentiel, le mouvement du pendule double ne sera donc donné que par la vitesse initiale de l'une ou 
des deux masses M1 et M2 .