Le Lagrangien dans le référentiel en rotation est donné par l'équation (12) page 132 :

        ` L = frac(m)(2)(dot X^2 + dot Y^2) + frac(m omega^2)(2)(X^2 + Y^2) + m omega(dot XY - dot Y X) class{cmjx-pos600-l}{(1)}`
 
Nous allons maintenant l'exprimer en coordonnées polaires en effectuant les transformations :
        ` X = R cos theta` 
        ` Y = R sin theta`         sous-entendu  ` R = R(t)`  et   ` theta = theta(t)` 

et donc :
        ` dot X = dot R cos theta - R dot theta sin theta` 
        ` dot Y = dot R sin theta + R dot theta cos theta` 

En effectuant les transformations dans les différents termes du Lagrangien, on obtient successivement :

` dot X^2 = dot R^2 cos^2 theta - 2R dot R cos theta sin theta + R^2 dot theta^2 sin^2 theta` 
` dot Y^2 = dot R^2 sin^2 theta + 2R dot R sin theta cos theta + R^2 dot theta^2 cos^2 theta` 

et en sommant :
` dot X^2 + dot Y^2 = dot R^2 (cos^2 theta + sin^2 theta) + 0 + R^2 dot theta^2 (sin^2 theta + cos^2 theta) ` 
                 ` = dot R^2 + R^2 dot theta^2 ` 

        ` color(brown)(dot X^2 + dot Y^2 = dot R^2 + R^2 dot theta^2 `

` X^2 = R^2 cos^2 theta` 
` Y^2 = R^2 sin^2 theta` 

        ` color(brown)(X^2 + Y^2 = R^2 ) `

` dot X Y = R sin theta(dot R cos theta - R dot theta sin theta) = R dot R sin theta cos theta - R^2 dot theta sin^2 theta` 
` X dot Y = R cos theta(dot R sin theta + R dot theta cos theta) = R dot R cos theta sin theta + R^2 dot theta cos^2 theta` 

et en faisant leur différence :
` dot X Y - X dot Y = 0 - R^2 dot theta (sin^2 theta + cos^2 theta) `
                    ` = - R^2 dot theta ` 

        ` color(brown)(dot X Y - X dot Y = - R^2 dot theta) `

Le Lagrangien demandé de l'équation (1) devient maintenant :
        `color(blue) ( L = frac(m)(2)(dot R^2 + R^2 dot theta^2) + frac(m omega^2)(2)R^2 - m omega R^2 dot theta ) class{cmjx-pos600-l}{(2)}`

Et c'est à partir de ce deuxième lagrangien que l'on va appliquer les équations d'Euler-Lagrange à plusieurs variables :
        ` frac(d)(dt)frac(del L)(dot x_i) - frac(del L)(del x_i) = 0 `         avec ` x_1 = R(t) `   et  ` x_2 = theta(t) `

ce qui va donner :

Pour ` x_1(t) = R(t) ` :

` frac(del L)(del dot R) = frac(1)(2) 2 m dot R = m dot R \ \ \ => \ \ frac(d)(dt)frac(del L)(dot R) = m ddotR ` 

` frac(del L)(del R) = frac(1)(2) 2 m R dot theta^2 + m omega^2 R - 2m omega R dot theta ` 
          ` = m R dot theta^2 - 2m omega R dot theta + m omega^2 R ` 

Soit :
        ` color(brown)(m ddotR = m R dot theta^2 - 2m omega R dot theta + m omega^2 R) ` 

et en simplifiant par ' ` m` ' :
        `  ddot R = R dot theta^2 - 2 omega R dot theta + omega^2 R `  
            ` = R(dot theta^2 - 2 omega dot theta + omega^2) ` 
        `color(brown)(ddot R = R(dot theta - omega)^2 ) class{cmjx-pos600-l}{(3)}` 

Ensuite :

Pour ` x_2(t) = theta(t) ` :

` frac(del L)(del dot theta) = frac(1)(2) 2 m R^2 dot theta - m omega R^2 = m R^2 dot theta - m omega R^2 = m R^2 (dot theta - omega) ` 
` \ \ \ => \ \ frac(d)(dt)frac(del L)(del dot theta) = 2m R dot(R) (dot(theta) - omega) + m R^2 ddot theta  class{cmjx-pos600-encart-l}{(4)}` 

` frac(del L)(del theta) = 0 ` 

Soit :
        ` 2m R dot(R) (dot(theta) - omega) + m R^2 ddot theta = 0 ` 
        ` 2 dot(R) (dot(theta) - omega) + R ddot theta = 0 `                                            en ayant simplifié par ` m R ` .
        `color(brown) (R ddot theta = 2 dot(R) (omega - dot(theta) ) ) class{cmjx-pos600-l}{(5)} `


Une erreur s'était glissée dans l'obtention de la dérivée temporelle ligne (4) et donc dans l'équation résultante ligne (5) .
Elle a été signalée par Mathieu Bivert. Merci à lui.



Le mouvement recherché  donné par les équations d'Euler-Lagrange est donc le système linéaire suivant en coordonnées polaires : 

` color(blue) ( { (\ \ \ ddot R, = R(dot theta - omega)^2), ( R ddot theta, = 2 dot(R) (omega - dot(theta) ) ) :} ) ` 


La solution de l'exercice 6.4 ne part pas de l'équation du Lagrangien (1).
Elle le recalcule par ` L = T - V ` avec le potentiel ` V `  qui n'agit que sur ` R ` en coordonnées polaires:
         ` T = frac(1)(2)m v^2`  et  ` V = - V(R) `     sachant que   ` v^2 = dot X^2 + dot Y^2 = R^2dot theta^2 + dot R^2 `  comme ce que nous avons trouvé,

le Lagrangien de départ devenant :
        ` L = frac(1)(2)m (R^2 dot theta^2 + dot R^2) + V(R) ` 

et les équations du mouvement :
        ` m ddot R = m dot theta^2 - F `         sachant que ` F = - frac(del V)(del R) ` 
        ` m R^2 ddot theta = 0 `                 comme ce que nous avions trouvé aussi.

Nous ne pouvons donc essayer de résoudre ces équations en l'état, afin de visualiser le mouvement.