Le Hamiltonien donné par l'équation (24) est le suivant :
` H = frac{1}{2m} sum_i (p_i - frac{e}{c}A_i(x) )^2`
1) Avec les équations de Hamilton du mouvement :
` dot p_i = -frac{del H}{del x_i} `
` dot x_i = frac{del H}{del p_i} `
Dans l'expression ` A(x)` on peut se demander quelle est la signification de ` x` puisqu'il cohabite avec des ` ({x_i})`
dans les dérivées partielles .
Il serait peut-être préférable de noter ` ({x_i}) ` , puisque l'on veut parler de toutes les valeurs possibles
de ` x = ( x_1,\ x_2, \ x_3, \ .\ .\ .\ ) `, et donc avoir l'expression ` A({x_i}) ` .
on obtient les équations :
`color(blue) ( dot p_i ) = - frac{del H}{del x_i} `
` = frac{1}{2m} sum_i [ 2 (p_i - frac{e}{c} A_i({x_i}) ) ( frac{del p_i}{del x_i} - frac{e}{c} frac{del A_i({x_i})}{del x_i})] `
`color(blue) ( = frac{1}{m} sum_i [ (p_i - frac{e}{c} A_i({x_i}) ) ( frac{del p_i}{del x_i} - frac{e}{c} frac{del A_i({x_i})}{del x_i})] )`
`color(blue) ( dot x_i = ) frac{del H}{del p_i} `
` = frac{1}{2m} sum_i 2(p_i - frac{e}{c}A_i({x_i}) ) frac{del p_i}{del p_i} `
`color(blue) ( = frac{1}{m} sum_i (p_i - frac{e}{c}A_i({x_i}) ) )` puisque ` frac{del p_i}{del p_i} = 1`
2) Retour aux équations de Newton-Lorentz :
Recalculons d'abord les ` p_i ` avec ` i = x,\ y,\ z ` soit ` dot p_x,\ dot p_y,\ dot p_z ` afin de mieux les visualiser.
D'abord le Hamiltonien qui va s'écrire :
` H = frac{1}{2m} [(p_x - frac{e}{c}A_x )^2 + (p_y - frac{e}{c}A_y )^2 + (p_z - frac{e}{c}A_z )^2 ] `
Ensuite les ` p_i ` :
`color(brown) ( dot p_x ) = - frac{del H}{del x} `
` = - frac{1}{2m} [2(p_x - frac{e}{c} A_x) (- frac{e}{c} frac{del A_x}{del x} ) + 2(p_y - frac{e}{c} A_y) (- frac{e}{c} frac{del A_y}{del x} ) + 2(p_z - frac{e}{c} A_z) (- frac{e}{c} frac{del A_z}{del x} ) ]`
` = - frac{1}{m} (-frac{e}{c}) [(p_x - frac{e}{c} A_x)frac{del A_x}{del x} + (p_y - frac{e}{c} A_y)frac{del A_y}{del x} + (p_z - frac{e}{c} A_z)frac{del A_z}{del x} ] `
`color(brown) ( = frac{e}{mc} [(p_x - frac{e}{c} A_x)frac{del A_x}{del x} + (p_y - frac{e}{c} A_y)frac{del A_y}{del x} + (p_z - frac{e}{c} A_z)frac{del A_z}{del x} ] )` (1)
De même les ` q_i ` avec ` i = x,\ y,\ z ` soit ` dot q_x,\ dot q_y,\ dot q_z ` :
`color(brown) ( dot q_x ) = - frac{del H}{del p_x} `
`color(brown) ( = frac{1}{m} (p_x - frac{e}{c} A_x) )`
avec :
` dot q_x = frac{d x(t)}{dt} = v_x`
soit :
` v_x = frac{1}{m} (p_x - frac{e}{c} A_x) `
et :
` color(brown) ( m\ v_x = (p_x - frac{e}{c} A_x) )`
De la même manière, on obtient :
`color(brown) ( m\ v_y = (p_y - frac{e}{c} A_y) )`
`color(brown) ( m\ v_z = (p_z - frac{e}{c} A_z) )`
En reportant ces valeurs dans l'équation (1) de ` dot p_x ` , il vient :
`color(brown) ( dot p_x ) = frac{e}{mc} (m\ v_x frac{del A_x}{del x} + m\ v_y frac{del A_y}{del x} + m\ v_z frac{del A_z}{del x} )`
`color(brown) ( = frac{e}{c} (v_x frac{del A_x}{del x} + v_y frac{del A_y}{del x} + v_z frac{del A_z}{del x} ) )` (2)
Maintenant, en se souvenant que :
`color(deeppink) ( p_x = m dot x + frac{e}{c} A_x )` équation (18)
et donc :
`color(deeppink) ( dot p_x ) = m frac{d dot x}{dt} + frac{e}{c} frac{d}{dt} A_x` (voir si nécessaire le Complément 5.1 pour le développement de ` frac{d}{dt} A_x` )
` = m a_x + frac{e}{c} (frac{del A_x}{del x} frac{dx}{dt} + frac{del A_x}{del y} frac{dy}{dt} + frac{del A_x}{del z} frac{dz}{dt} ) `
`color(deeppink) ( = m a_x + frac{e}{c} ( frac{del A_x}{del x} v_x + frac{del A_x}{del y} v_y + frac{del A_x}{del z} v_z ) )`
soit :
`color(deeppink) ( m a_x = underline(dot p_x) - frac{e}{c} ( frac{del A_x}{del x} v_x + frac{del A_x}{del y} v_y + frac{del A_x}{del z} v_z ) )`
Ensuite, en remplaçant `color(deeppink) ( underline(dot p_x) )` par l'équation (2) , l'équation devient :
` m a_x = frac{e}{c} (v_x frac{del A_x}{del x} + v_y frac{del A_y}{del x} + v_z frac{del A_z}{del x} )
- frac{e}{c} ( frac{del A_x}{del x} v_x + frac{del A_x}{del y} v_y + frac{del A_x}{del z} v_z ) `
Et, après l'annulation du terme ` v_x frac{del A_x}{del x} ` et les regroupements sur ` v_y ` et ` v_z ` , on retombe bien sur l'équation (19) :
` m a_x = frac{e}{c} v_y ( frac{del A_y}{del x} - frac{del A_x}{del y} ) + frac{e}{c} v_z ( frac{del A_z}{del x} - frac{del A_x}{del z} ) `
et la démonstration des pages 224 et 225 qui conduit aux équations du mouvement de Newton-Lorentz :
`color(blue) ( m a_x = frac{e}{c} (B_z dot y - B_y dot z) = frac{e}{c} (vec v xx vec B)_x )`
ce que l'on voulait vérifier.
La présente solution avec ` dot p_x, \ dot q_x,\ ma_x ` ne porte que sur la composante ` x ` du
produit vectoriel ` frac{e}{c} (vec v xx vec B) ` du mouvement, ceci par souci de simplification.
Les deux autres composantes ` ma_y\ , \ ma_z ` étant obtenues de la même manière.
