Le hamiltonien est issu de la formule générale donnée page 163 :
` H = sum_i (p_i dot q_i) - L `
avec dans notre cas :
` dot q_i = dot x_i `
` L = sum_i ( frac{m}{2} dot x_i^2 + frac{e}{c} dot x_i A_i(x) ) `
ce qui donne l'équation (22) :
` H = sum_i ( p_i dot x_i - (frac{m}{2} dot x_i^2 + frac{e}{c} dot x_i A_i(x) ) ) ` (22)
Nous allons y reporter la valeur ` dot x_i ` :
` dot x_i = frac{1}{m} ( p_i - frac{e}{c} A_i(x) )` (23)
issue de la valeur du moment magnétique conjugué de ` vec p ` de l'équation (21) .
C'est l'objet de ce développement.
En faisant ce report, on obtient :
` H = sum_i [ p_i\ frac{1}{m} ( p_i - frac{e}{c} A_i(x) ) - frac{m}{2} ( frac{1}{m} ( p_i - frac{e}{c} A_i(x) ) )^2 `
` - frac{e}{c} frac{1}{m} ( p_i - frac{e}{c} A_i(x) ) A_i(x) ]`
` = sum_i [ frac{1}{m} ( p_i^2 - frac{e}{c} p_i A_i(x) ) - frac{m}{2 m^2} ( p_i^2 - 2 frac{e}{c} p_i A_i(x) + (frac{e}{c})^2 A_i^2(x) ) `
` -frac{e}{c} frac{1}{m} ( p_i A_i(x) - frac{e}{c} A_i^2(x) ) ]`
` = sum_i [ frac{1}{m} p_i^2 - frac{1}{m} frac{e}{c} p_i A_i(x) - frac{1}{2 m} p_i^2 + cancel(2 frac{1}{2 m} frac{e}{c} p_i A_i(x) ) - frac{1}{2 m}(frac{e}{c})^2 A_i^2(x) `
` - cancel( frac{e}{c} frac{1}{m} p_i A_i(x) ) + frac{1}{m} (frac{e}{c})^2 A_i^2(x) ]`
` = sum_i [ frac{1}{m} p_i^2 - frac{1}{m} frac{e}{c} p_i A_i(x) - frac{1}{2 m} p_i^2 - frac{1}{2 m}(frac{e}{c})^2 A_i^2(x) + frac{1}{m} (frac{e}{c})^2 A_i^2(x) ]`
et en regroupant :
` H = sum_i [ frac{1}{m} p_i^2 - frac{1}{2 m} p_i^2 - frac{1}{m} frac{e}{c} p_i A_i(x) - frac{1}{2 m}(frac{e}{c})^2 A_i^2(x) + frac{1}{m} (frac{e}{c})^2 A_i^2(x) ]`
` = sum_i [ frac{1}{2 m} p_i^2 - frac{1}{m} frac{e}{c} p_i A_i(x) + frac{1}{2 m}(frac{e}{c})^2 A_i^2(x) ] `
` = frac{1}{2 m} sum_i [ p_i^2 - 2 frac{e}{c} p_i A_i(x) + (frac{e}{c})^2 A_i^2(x) ] `
soit :
` color(blue) ( H = frac{1}{2 m} sum_i ( p_i - frac{e}{c} A_i(x) )^2 )` ce à quoi l'on voulait arriver .
