1) L'équation (14) à démontrer est la suivante :

        ` {F(q,p), p_i} = frac{del F(q,p)}{del q_i}  `             ` (14) `  

Avec la définition générale des crochets de Poisson :

        ` {F,G} = sum_i (frac{del F}{del q_i} frac{del G}{del p_i} - frac{del F}{del p_i} frac{del G}{del q_i} ) ` 

l'équation   ` (14) `   s'écrit :

        ` {F(q,p), p_i} = sum_i (frac{del F(p,q)}{del q_i} frac{del p_i}{del p_i} - frac{del F(p,q)}{del p_i} frac{del p_i}{del q_i} ) ` 

et comme la seule composante   ` p_i`  est considérée, la sommation ne porte que sur un seul indice.
On obtient donc :

        ` {F(q,p), p_i} = frac{del F(p,q)}{del q_i} frac{del p_i}{del p_i} - frac{del F(p,q)}{del p_i} frac{del p_i}{del q_i}  ` 

puis en tenant compte que    ` frac{del p_i}{del p_i} = 1 `   et que   ` frac{del p_i}{del q_i} = 0 `  , il vient :

        ` color(blue) ( {F(q,p), p_i} = frac{del F(p,q)}{del q_i} )`             ce que l'on voulait démontrer.

2) Nous allons en profiter pour démontrer aussi l'équation (15) :

Sachant que la seule composante à prendre en compte est cette fois   ` q_i ` , l'équation (15) devient :

        ` {F(q,p), q_i} = frac{del F(p,q)}{del q_i} frac{del q_i}{del p_i} - frac{del F(p,q)}{del p_i} frac{del q_i}{del q_i}  ` 

puis en tenant compte que    ` frac{del q_i}{del p_i} = 0 `   et que   ` frac{del q_i}{del q_i} = 1 `  , il vient :

        ` color(blue) ( {F(q,p), q_i} = - frac{del F(p,q)}{del p_i} )`             ce que l'on voulait démontrer.