a) Confirmation de l'équation (3).
Cette équation est la suivante :
` (vec V xx vec A)_i = sum_k sum_j epsilon_(ijk) V_j A_k `
Pour confirmer l'équation nous allons la développer avec ` i,\ j, \k = x,\ y,\ z ` .
a_1) ` underline(i = x) ` , ` j = x->z ` (pour ` V_j ` )
` (vec V xx vec A)_x = epsilon_(x""x""x) V_x A_x + epsilon_(xyx) V_y A_x + epsilon_(xzx) V_z A_x ` ` k = x\ \ "pour" \ \ A_k `
` + epsilon_(x""x""y) V_x A_y + epsilon_(xyy) V_y A_y + color(brown)(epsilon_(xzy)) V_z A_y ` ` k = y\ \ "pour" \ \ A_k `
` + epsilon_(x""x""z) V_x A_z + color(brown)(epsilon_(xyz)) V_y A_z + epsilon_(xzz) V_z A_z ` ` k = z\ \ "pour" \ \ A_k `
Il y a 9 termes puisque chacun des 2 indices variables a 3 valeurs possibles.
Voyons maintenant comment agit le symbole de Levi-Civita ` epsilon_(ijk) ` .
Donc les deux seules valeurs non nulles des 9 termes ci-dessus sont celles en marron et l'équation devient :
` color(brown)((vec V xx vec A)_x = -V_z A_y + V_y A_z )`
De la même manière, on va obtenir pour les deux autres composantes du produit vectoriel :
a_2) ` underline(i = y) ` , ` j = x->z ` (pour ` V_j ` )
` (vec V xx vec A)_y = epsilon_(y""x""x) V_x A_x + epsilon_(yyx) V_y A_x + color(brown)(epsilon_(yzx)) V_z A_x ` ` k = x\ \ "pour" \ \ A_k `
` + epsilon_(y""x""y) V_x A_y + epsilon_(yyy) V_y A_y + epsilon_(yzy) V_z A_y ` ` k = y\ \ "pour" \ \ A_k `
` + color(brown)(epsilon_(y""x""z)) V_x A_z + epsilon_(yyz) V_y A_z + epsilon_(yzz) V_z A_z ` ` k = z\ \ "pour" \ \ A_k `
Les deux seules valeurs non nulles des 9 termes ci-dessus sont celles en marron et l'équation devient :
` color(brown)((vec V xx vec A)_y = V_z A_x - V_x A_z )`
a_3) ` underline(i = z) ` , ` j = x->z ` (pour ` V_j ` )
` (vec V xx vec A)_z = epsilon_(z""x""x) V_x A_x + color(brown)(epsilon_(zyx)) V_y A_x + epsilon_(zzx) V_z A_x ` ` k = x\ \ "pour" \ \ A_k `
` + color(brown)(epsilon_(z""x""y)) V_x A_y + epsilon_(zyy) V_y A_y + epsilon_(zzy) V_z A_y ` ` k = y\ \ "pour" \ \ A_k `
` + epsilon_(z""x""z) V_x A_z + epsilon_(zyz) V_y A_z + epsilon_(zzz) V_z A_z ` ` k = z\ \ "pour" \ \ A_k `
Les deux seules valeurs non nulles des 9 termes ci-dessus sont celles en marron et l'équation devient :
` color(brown)((vec V xx vec A)_z = V_x A_y - V_y A_x )`
Dans chaque cas ` (\ \ \ )_x` , ` (\ \ \ )_y` , ` (\ \ \ )_z` les trois lignes en ` V_j\ A_k ` sont les mêmes.
Seules diffèrent les ` epsilon_(ijk) ` qui valident les termes utilisables.
Nous devons montrer que les trois résultats obtenus correspondent bien aux trois composantes du produit vectoriel ` vec V xx vec A `
puisque le produit vectoriel de deux vecteurs est un vecteur.
L'astuce mathématique pour obtenir ces composantes est la suivante :
on pose le produit vectoriel à effectuer sous la forme ci-dessous
` {:( , , vec u, -vec v, vec w),( , , ldots, ldots, ldots ), (vec V, vdots, V_x, V_y, V_z), (vec A, vdots, A_x, A_y, A_z) :}`
et pour obtenir la composante d'un vecteur de base ` vec u, vec v` ou ` vec w` , on fait le produite en croix (façon déterminant) des éléments
des deux autre colonnes.
ATTENTION : notez le ` - vec v` .
Ce qui donne :
` vec V xx vec A = C_x vec u + C_y vec v + C_z vec w `
avec
` C_x = V_y A_z - V_z A_y `
` C_y = V_z A_x - V_x A_z `
` C_z = V_x A_y - V_y A_x `
et qui sont les valeurs présentées à la page 212.
Les résultats obtenus montrent bien que :
` color(blue) (V_y A_z - V_z A_y = (vec V xx vec A)_x = C_x )`
` color(blue) (V_z A_x - V_x A_z = (vec V xx vec A)_y = C_y )`
` color(blue) (V_x A_y - V_y A_x = (vec V xx vec A)_z = C_z )`
et notre équation (3) initiale ` (vec V xx vec A)_i = sum_k sum_j epsilon_(ijk) V_j A_k ` est vérifiée.
b) Démontrer que ` V_iA_j - V_jA_i = sum_k epsilon_(ijk) (vec V xx vec A)_k ` .
En développant le membre de droite, la signification de l'expression ne saute pas aux yeux !
D'autant que dans la version anglaise originale, l'indice du produit vectoriel n'est pas le même :
` V_iA_j - V_jA_i = sum_k epsilon_(ijk) (vec V xx vec A)_i `
Des précisions seraient donc utiles pour aider à la compréhension de cette partie de l'exercice.
