Ce complément est dû à Yves Moncenis qui a remarqué que la formule    ` frac{del A}{del x_8} `     présentée page 125 était incomplète.
Donc merci à lui.

Effectivement, on part de :

        ` A|_(n=8) =  L(frac{x_7 + x_8}{2}, frac{x_8 - x_7}{Delta t}) Delta t + L(frac{x_8 + x_9}{2}, frac{x_9 - x_8}{Delta t}) Delta t `

                        ` = L(f_1(x), g_1(x)) Delta t + L(f_2(x), g_2(x)) Delta t ` 

Et pour la différenciation, on part de deux termes de la forme    ` L(f(x), g(x)) xx "Cte" `   ce qui donnera donc deux fois un terme :

        ` frac{dL}{dx} = ( frac{del L}{del f} frac{del f}{del x} + frac{del L}{del g} frac{del g}{del x} ) xx "Cte" ` 

avec :

        ` f_1(x_8) = frac{x_7 + x_8}{2}\ ,\ \ \ g_1(x_8) = frac{x_8 - x_7}{Delta t}  ` 

        ` f_2(x_8) = frac{x_8 + x_9}{2}\ ,\ \ \ g_2(x_8) = frac{x_9 - x_8}{Delta t}  ` 

        ` "Cte" = Delta t ` 

et donc :

        ` frac{del f_1}{del x_8) = frac{1}{2}\ ,\ \ \ frac{del g_1}{del x_8) = frac{1}{Delta t}  ` 

        ` frac{del f_2}{del x_8) = frac{1}{2}\ ,\ \ \ frac{del g_2}{del x_8) = - frac{1}{Delta t}  ` 

soit au total :

        ` frac{del A}{del x_8} = (frac{1}{2} frac{del L}{del f_1} + frac{1}{Delta t}frac{del L}{del g_1} ) Delta t +  (frac{1}{2} frac{del L}{del f_2} - frac{1}{Delta t}frac{del L}{del g_2} ) Delta t`  

et en regroupant les termes :

        ` frac{del A}{del x_8} = frac{1}{2} (frac{del L}{del f_1} + frac{del L}{del f_2} ) Delta t + frac{1}{Delta t} (frac{del L}{del g_1} - frac{del L}{del g_2} ) Delta t`  

et avec les notations discrètes :

        ` frac{del A}{del x_8} =  frac{1}{2} ( frac{del L}{del x}|_(n=8):} +  frac{del L}{del x}|_(n=9) ) Delta t ` 
                        ` + frac{1}{Delta t} ( frac{del L}{del dot(x)}|_(n=8):}   - frac{del L}{del dot(x)}|_(n=9) ) Delta t`

ou ( pour être dans le même ordre que page 125 ) voila la formule complète à laquelle on arrive :

        ` ` ` frac{del A}{del x_8} =  frac{1}{Delta t} ( - frac{del L}{del dot(x)}|_(n=9):} +  frac{del L}{del dot(x)}|_(n=8) ) Delta t ` 
                        ` ` ` + frac{1}{2} ( frac{del L}{del x}|_(n=8):} +  frac{del L}{del x}|_(n=9) ) Delta t ` 

On a donc le terme    ` Delta t `    en facteur qui n'est pas présent page 125.


Et il ne faut pas effectuer la simplification par    ` Delta t `    dans le premier terme sinon la dérivée    ` frac{d}{dt} frac{del L}{del dot(x)} `    n'apparaitra pas ensuite !
De plus lorsqu'on écrit maintenant pour minimiser l'action :

       ` frac{del A}{del x_8} =  [ frac{1}{Delta t} ( - frac{del L}{del dot(x)}|_(n=9):} +  frac{del L}{del dot(x)}|_(n=8) )  + frac{1}{2} ( frac{del L}{del x}|_(n=8):} +  frac{del L}{del x}|_(n=9) )] Delta t = 0 ` 

le    ` Delta t -> 0 `   permet d'obtenir la dérivée    ` frac{d}{dt} frac{del L}{del dot(x)} `   mais il doit rester    ` Delta t != 0 `    en facteur pour toute l'expression !
La démonstration est donc moins flagrante puisqu'on se rapproche de la forme    ` frac{del A}{del x_8} = 0 xx 0 `   !

Des compléments d'information seront donc les bienvenus.

Pour la démonstration de la forme complète continue voir le  Complément 6.5  suivant.