Nous avons au départ :

        ` L = frac(m)(2) (dot x_1^2 + dot x_2^2) - V(x_1 - x_2) = T - V ` 
et :
        ` x_+\ = frac(x_1 + x_2)(2) class{cmjx-pos400}{(1)}` 

        ` x_-\ = frac(x_1 - x_2)(2) class{cmjx-pos400}{(2)}` 

et nous devons démontrer que  :        ` T = m (dot x_+^2 + dot x_-^2) ` 

C'est un système de deux équations (1) et (2),  et l'on doit exprimer  ` x_1 ` et  ` x_2 `  en fonction de  ` x_+ ` et  ` x_- ` :

        ` {: ( (1) => , x_1 + x_2 , = 2 x_+, ), ( , x_1, = 2 x_+ - \ x_2, class{cmjx-pos400}{(3)} ) :} ` 

$$\begin{align*}
\qquad (3) \to (2) \quad \Rightarrow   x_-\    &= \frac {2 x_+ - x_2 - x_2}{2}   \\
                                  &= \frac {2 x_+ - 2x_2}{2}    \\
                                  &= x_+ - \ x_2  \\ \\
                          x_2     &= x_+ - \ x_-  \tag{4} \\ \\
\textrm{et donc :}\qquad \qquad \\
         \color{brown}{\dot x_2}  &= \color{brown}{\dot x_+ - \dot x_- } \tag{5}
\end{align*}$$
Maintenant :

$$\begin{align*}
\qquad (4) \to (3) \quad \Rightarrow   x_1\    &= 2 x_+ - (x_+ - x_-)  \\
                                       x_1\    &= x_+ - x_-    \\
\textrm{et donc :}\qquad \qquad \\
                      \color{brown}{\dot x_1 } &= \color{brown}{\dot x_+ + \dot x_- } \tag{6}
\end{align*}$$

L'expression initiale de l'énergie cinétique :

        ` T = frac(m)(2) (dot x_1^2 + dot x_2^2) ` 

devient alors, en reportant les valeurs trouvées en  ` (5)`  et en  ` (6)`  :

        ` T = frac(m)(2) ( (dot x_+ + \ dot x_-)^2 + (dot x_+ - \ dot x_-)^2) ` 

           ` = frac(m)(2) ( ( dot x_+^2 + cancel (2 dot x_+ dot x_(-) ) + dot x_(-)^2) + ( dot x_+^2 - cancel (2 dot x_+ dot x_(-) ) + dot x_(-)^2) ) ` 

           ` = frac(m)(2) ( 2 dot x_+^2 + 2 dot x_(-)^2 ) ` 

        ` color(blue) ( T = m (dot x_+^2 + dot x_(-)^2 ) )`             ce que l'on voulait démontrer.